Identifique a curva r^{2}=4 \sin (2 \theta).

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r^{2}=4\sin(2\theta)
e pede que a identifiquemos. Informações relevantes que temos:
  • A equação polar da curva é \;r^{2}=4\sin(2\theta).
  • O que se costuma pedir ao “identificar” uma curva: transformá‑la para uma forma conhecida (por exemplo cartesiana), determinar seu nome geométrico, sua orientação/simetria e pontos notáveis (máximos, interceptos).
    A partir daqui vou transformar a equação polar em cartesiana, estudar domínio e simetrias, e então dizer qual curva é.

Passo 2

Lembrete sobre coordenadas polares e conversão para cartesiano (aulas rápidas e práticas).
  • Em coordenadas polares, um ponto é dado por (r,\theta), onde r é a distância ao origem e \theta o ângulo com o eixo x.
  • As relações entre polares e cartesianas são:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad r^{2}=x^{2}+y^{2}.
  • A identidade trigonométrica importante aqui é
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta.
Quando for necessário, substitui‑se \sin\theta=\dfrac{y}{r} e \cos\theta=\dfrac{x}{r}. Vou usar tudo isso no próximo passo.

Passo 3

Converter a equação polar em cartesiana passo a passo.
Começo substituindo \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta e depois \sin\theta=\dfrac{y}{r}, \cos\theta=\dfrac{x}{r}:
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta = 2\cdot\frac{y}{r}\cdot\frac{x}{r}=\frac{2xy}{r^{2}}.
Agora plugo na equação dada:
r^{2}=4\sin(2\theta)=4\cdot\frac{2xy}{r^{2}}=\frac{8xy}{r^{2}}.
Multiplico ambos os lados por r^{2} para eliminar denominadores:
r^{4}=8xy.
Finalmente, como r^{2}=x^{2}+y^{2},
(x^{2}+y^{2})^{2}=8xy.
Essa é a forma cartesiana da curva.

Passo 4

Interpretar a forma cartesiana e reconhecer a curva.
A equação
(x^{2}+y^{2})^{2}=8xy
é do tipo do que se chama uma lemniscata (forma de “8” ou laço duplo). De forma geral, curvas dadas por (x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}xy ou por (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2}) são variantes da lemniscata de Bernoulli (dependendo se a expressão usa xy ou x^{2}-y^{2} aparece uma rotação). No nosso caso, comparando com (x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}xy, temos 2a^{2}=8\Rightarrow a^{2}=4. Portanto a curva é uma lemniscata de Bernoulli correspondente à equação polar \;r^{2}=a^{2}\sin(2\theta) com a^{2}=4.

Passo 5

Estudo das simetrias, domínio em \theta e pontos notáveis (como se resolveria num exame).
  • Domínio: a equação polar exige r^{2}\ge0, logo precisamos de \sin(2\theta)\ge0. Assim
\sin(2\theta)\ge0\quad\Longrightarrow\quad \theta\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]\cup\left[\pi,\tfrac{3\pi}{2}\right]\quad(\text{mod }2\pi).
Isto significa dois lóbulos: um no primeiro quadrante (ângulos perto de \pi/4) e outro no terceiro quadrante (ângulos perto de 5\pi/4).
  • Máximo de r: ocorre quando \sin(2\theta)=1. Então r^{2}=4 e r=2. Isso acontece para
    \theta=\tfrac{\pi}{4} e \theta=\tfrac{5\pi}{4}.
    Coordenadas desses pontos:
\text{para }\theta=\tfrac{\pi}{4}:\quad x=r\cos\theta=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},\quad y=\sqrt{2}.
\text{para }\theta=\tfrac{5\pi}{4}:\quad x=-\sqrt{2},\quad y=-\sqrt{2}.
  • Interseções com eixos: se y=0 a equação cartesiana vira (x^{2})^{2}=0 então x=0; idem para x=0 leva a y=0. Logo a única interseção com os eixos é a origem (os dois lóbulos se tocam na origem).
  • Simetrias: a curva é simétrica por rotação de 180^\circ em torno da origem (porque a equação é de grau par) e é simétrica em relação à reta y=x (os máximos estão sobre y=x). Em palavras: dois lóbulos simétricos ao longo da reta y=x, um no primeiro quadrante e outro no terceiro.

Passo 6

Resumo didático (como lembrar na prova):
  • Ao ver r^{2}=a^{2}\sin(2\theta) lembre que \sin(2\theta)=2xy/r^{2}. Substituindo chega‑se a (x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}xy, a forma cartesiana da lemniscata girada.
  • Identificar máximos: ponha \sin(2\theta)=1 para achar r_{\max}.
  • Checar domínio: imponha r^{2}\ge0 → escolha intervalos de \theta onde \sin(2\theta)\ge0.

Resposta

Lemniscata de Bernoulli; forma cartesiana (x^{2}+y^{2})^{2}=8xy. Pontos de máximo: (\sqrt{2},\sqrt{2}) e (-\sqrt{2},-\sqrt{2}); lóbulos ao longo da reta y=x.

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