Identifique a curva
.
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
e pede que a identifiquemos. Informações relevantes que temos:
- A equação polar da curva é
. - O que se costuma pedir ao “identificar” uma curva: transformá‑la para uma forma conhecida (por exemplo cartesiana), determinar seu nome geométrico, sua orientação/simetria e pontos notáveis (máximos, interceptos).
A partir daqui vou transformar a equação polar em cartesiana, estudar domínio e simetrias, e então dizer qual curva é.
Passo 2
Lembrete sobre coordenadas polares e conversão para cartesiano (aulas rápidas e práticas).
- Em coordenadas polares, um ponto é dado por
, onde é a distância ao origem e o ângulo com o eixo . - As relações entre polares e cartesianas são:
- A identidade trigonométrica importante aqui é
Quando for necessário, substitui‑se
e
. Vou usar tudo isso no próximo passo.
Passo 3
Converter a equação polar em cartesiana passo a passo.
Começo substituindo e depois
,
:
Começo substituindo
Agora plugo na equação dada:
Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Finalmente, como
,
Essa é a forma cartesiana da curva.
Passo 4
Interpretar a forma cartesiana e reconhecer a curva.
A equação
A equação
é do tipo do que se chama uma lemniscata (forma de “8” ou laço duplo). De forma geral, curvas dadas por
ou por
são variantes da lemniscata de Bernoulli (dependendo se a expressão usa
ou
aparece uma rotação). No nosso caso, comparando com
, temos
. Portanto a curva é uma lemniscata de Bernoulli correspondente à equação polar
com
.
Passo 5
Estudo das simetrias, domínio em
e pontos notáveis (como se resolveria num exame).
- Domínio: a equação polar exige
, logo precisamos de . Assim
Isto significa dois lóbulos: um no primeiro quadrante (ângulos perto de
) e outro no terceiro quadrante (ângulos perto de
).
- Máximo de
: ocorre quando . Então e . Isso acontece para
e .
Coordenadas desses pontos:
- Interseções com eixos: se
a equação cartesiana vira então ; idem para leva a . Logo a única interseção com os eixos é a origem (os dois lóbulos se tocam na origem). - Simetrias: a curva é simétrica por rotação de
em torno da origem (porque a equação é de grau par) e é simétrica em relação à reta (os máximos estão sobre ). Em palavras: dois lóbulos simétricos ao longo da reta , um no primeiro quadrante e outro no terceiro.
Passo 6
Resumo didático (como lembrar na prova):
- Ao ver
lembre que . Substituindo chega‑se a , a forma cartesiana da lemniscata girada. - Identificar máximos: ponha
para achar . - Checar domínio: imponha
→ escolha intervalos de onde .
Resposta
Lemniscata de Bernoulli; forma cartesiana
. Pontos de máximo:
e
; lóbulos ao longo da reta
.