Identifique a curva
e o número de pétalas.
Passo 1
O enunciado dá a equação polar
e pede duas coisas: identificar que tipo de curva é essa e determinar o número de pétalas. Informações relevantes dadas:
- A expressão é da forma
com e . - Não há outras condições ou imagens fornecidas.
Passo 2
Relembrando o que significa escrever uma curva em coordenadas polares: cada par
representa um ponto obtido a uma distância
da origem (polo) e na direção do ângulo
. Importante: quando
é negativo, o ponto fica na mesma reta que o ângulo
mas no sentido oposto, isto é,
com
corresponde ao mesmo ponto que
. Vou usar isso depois para interpretar os valores negativos de
.
Passo 3
Existe uma família bem conhecida de curvas polares chamadas “rosas” (rose curves), descritas por
onde
é o comprimento máximo das pétalas e
controla o número de pétalas. Propriedades úteis:
- O comprimento (raio) máximo de cada pétala é
. - Se
é ímpar, a rosa tem pétalas. - Se
é par, a rosa tem pétalas.
Essas propriedades vêm da periodicidade e dos sinais deou : para par a função completa duas oscilações distintas no intervalo , gerando regiões em que atinge valores máximos positivos ou negativos (estes últimos correspondem a pétalas viradas 180º, como expliquei no passo anterior).
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso: aqui
e
. Como
é par (
), a regra dá que o número de pétalas é
. Portanto o número de pétalas é
Passo 5
Explico concretamente onde estão as pétalas e qual o comprimento delas. As pétalas correspondem aos ângulos onde
atinge o máximo
, ou seja onde
. Isso ocorre quando
Para
(valores distintos em
) obtemos
. Os valores de
nesses ângulos são alternadamente
e
:
-
: → ponta em direção com distância (pétala à direita). -
: → ponto equivalente a , ou seja pétala para baixo. -
: → pétala à esquerda. -
: → ponto equivalente a , ou seja pétala para cima.
Logo as quatro pétalas ficam centradas ao longo dos eixos coordenados (para cima, baixo, esquerda e direita), cada uma com comprimento.
Passo 6
Para entender a forma entre as pontas: as raízes (zeros) de
ocorrem quando
, isto é quando
Esses ângulos marcam as transições entre pétalas (passagem pela origem), mostrando que cada pétala ocupa um intervalo angular de largura
. Isso confirma a distribuição simétrica e as quatro pétalas.
Passo 7
Resumo interpretativo e dica para desenhar na prova: trace os eixos, marque os ângulos
, calcule alguns valores (por exemplo
,
,
) e use a regra do sinal (r negativo → virar 180º) para posicionar segmentos. Assim obtém-se a rosa com quatro pétalas de forma rápida na prova.
Resposta
Curva: rosa (rose curve) dada por
.
Número de pétalas: .
Número de pétalas: