Identifique a curva r=3 \cos (2 \theta) e o número de pétalas.

Passo 1

O enunciado dá a equação polar
r=3\cos(2\theta)
e pede duas coisas: identificar que tipo de curva é essa e determinar o número de pétalas. Informações relevantes dadas:
  • A expressão é da forma r=a\cos(n\theta) com a=3 e n=2.
  • Não há outras condições ou imagens fornecidas.

Passo 2

Relembrando o que significa escrever uma curva em coordenadas polares: cada par (r,\theta) representa um ponto obtido a uma distância r da origem (polo) e na direção do ângulo \theta. Importante: quando r é negativo, o ponto fica na mesma reta que o ângulo \theta mas no sentido oposto, isto é, (r,\theta) com r<0 corresponde ao mesmo ponto que (|r|,\theta+\pi). Vou usar isso depois para interpretar os valores negativos de r.

Passo 3

Existe uma família bem conhecida de curvas polares chamadas “rosas” (rose curves), descritas por
r=a\cos(n\theta)\quad\text{ou}\quad r=a\sin(n\theta),
onde a é o comprimento máximo das pétalas e n controla o número de pétalas. Propriedades úteis:
  • O comprimento (raio) máximo de cada pétala é |a|.
  • Se n é ímpar, a rosa tem n pétalas.
  • Se n é par, a rosa tem 2n pétalas.
    Essas propriedades vêm da periodicidade e dos sinais de \cos(n\theta) ou \sin(n\theta): para n par a função completa duas oscilações distintas no intervalo [0,2\pi), gerando 2n regiões em que r atinge valores máximos positivos ou negativos (estes últimos correspondem a pétalas viradas 180º, como expliquei no passo anterior).

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso: aqui a=3 e n=2. Como n é par ( 2), a regra dá que o número de pétalas é 2n. Portanto o número de pétalas é
2n = 2\cdot 2 = 4.

Passo 5

Explico concretamente onde estão as pétalas e qual o comprimento delas. As pétalas correspondem aos ângulos onde |r| atinge o máximo |a|=3, ou seja onde |\cos(2\theta)|=1. Isso ocorre quando
2\theta = k\pi\quad\Rightarrow\quad \theta = \frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}.
Para k=0,1,2,3 (valores distintos em [0,2\pi)) obtemos \theta=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2}. Os valores de r nesses ângulos são alternadamente +3 e -3:
  • \theta=0: r=3 → ponta em direção \theta=0 com distância 3 (pétala à direita).
  • \theta=\tfrac{\pi}{2}: r=-3 → ponto equivalente a (3,\tfrac{3\pi}{2}), ou seja pétala para baixo.
  • \theta=\pi: r=3 → pétala à esquerda.
  • \theta=\tfrac{3\pi}{2}: r=-3 → ponto equivalente a (3,\tfrac{\pi}{2}), ou seja pétala para cima.
    Logo as quatro pétalas ficam centradas ao longo dos eixos coordenados (para cima, baixo, esquerda e direita), cada uma com comprimento 3.

Passo 6

Para entender a forma entre as pontas: as raízes (zeros) de r ocorrem quando \cos(2\theta)=0, isto é quando
2\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi\quad\Rightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}.
Esses ângulos marcam as transições entre pétalas (passagem pela origem), mostrando que cada pétala ocupa um intervalo angular de largura \tfrac{\pi}{2}. Isso confirma a distribuição simétrica e as quatro pétalas.

Passo 7

Resumo interpretativo e dica para desenhar na prova: trace os eixos, marque os ângulos \theta=0,\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2},\dots, calcule alguns valores (por exemplo r(0)=3, r(\tfrac{\pi}{4})=0, r(\tfrac{\pi}{8})=3\cos(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{3}{\sqrt2}) e use a regra do sinal (r negativo → virar 180º) para posicionar segmentos. Assim obtém-se a rosa com quatro pétalas de forma rápida na prova.

Resposta

Curva: rosa (rose curve) dada por r=3\cos(2\theta).
Número de pétalas: 4.

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