Identifique a curva
e o número de pétalas.
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
e
:
O que pede: (1) identificar que tipo de curva é essa; (2) determinar o número de pétalas dessa curva. Essas são as informações fornecidas — não há outros dados.
Passo 2
Primeiro, um pouco de conceitos básicos sobre coordenadas polares (pra você não se perder): em coordenadas polares um ponto no plano é dado por
onde
é a distância do ponto à origem (pode ser positiva, zero ou negativa na representação polar) e
é o ângulo medido a partir do eixo
. A relação com coordenadas cartesianas é
Curvas dadas por
em função de
frequentemente têm formas familiares; uma família importante é a das “rosáceas” (ou curvas em formato de pétalas), que possuem equações do tipo
onde
e
são constantes.
Passo 3
Agora, reconhecer a forma: a equação
está exatamente no formato
com
e
. Portanto trata-se de uma rosácea (curva em pétalas).
Passo 4
Regra importante (que você deve decorar para a prova) sobre o número de pétalas de uma rosácea:
- Se
é par, a curva (ou ) tem pétalas. - Se
é ímpar, a curva (ou ) tem pétalas.
Essa regra vem do fato de
ter período
e de pontos com
produzirem pétalas que, para
ímpar, não criam pétalas adicionais simétricas extras.
Passo 5
Aplicando a regra ao nosso caso: aqui
, que é ímpar. Logo o número de pétalas é igual a
. Portanto a curva tem 3 pétalas.
Passo 6
Comprimento (ou “tamanho”) de cada pétala: o valor máximo de
ocorre quando
, então
. Assim cada pétala chega até a distância
da origem.
Passo 7
Vamos achar as direções (ângulos) onde ficam centradas as pétalas — isso ajuda a visualizar e é útil na prova. As máximas ocorrem quando
Dividindo por
,
Tomando
dentro de um intervalo de comprimento
obtemos as três direções centrais das pétalas:
ou, em graus,
.
Passo 8
Também é útil ver onde
(as “raízes” que delimitam cada pétala). Resolve-se
portanto
Esses ângulos (
) são os limites entre pétalas; cada pétala está entre dois zeros consecutivos e tem largura angular
(60°).
Passo 9
Resumo visual e simetria (pra você imaginar): é uma rosácea com 3 pétalas iguais, cada pétala alcança
, centradas nas direções
. A curva tem simetrias óbvias de rotação de
(120°) porque a função
repete esse padrão.
Resposta
É uma rosácea (curva tipo “rose”) dada por
com
pétalas.