Identifique a curva r=4 \sin (3 \theta) e o número de pétalas.

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares r e \theta:
r = 4\sin(3\theta).
O que pede: (1) identificar que tipo de curva é essa; (2) determinar o número de pétalas dessa curva. Essas são as informações fornecidas — não há outros dados.

Passo 2

Primeiro, um pouco de conceitos básicos sobre coordenadas polares (pra você não se perder): em coordenadas polares um ponto no plano é dado por (r,\theta) onde r é a distância do ponto à origem (pode ser positiva, zero ou negativa na representação polar) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. A relação com coordenadas cartesianas é
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Curvas dadas por r em função de \theta frequentemente têm formas familiares; uma família importante é a das “rosáceas” (ou curvas em formato de pétalas), que possuem equações do tipo
r = a\cos(n\theta)\quad\text{ou}\quad r = a\sin(n\theta),
onde a e n são constantes.

Passo 3

Agora, reconhecer a forma: a equação \,r=4\sin(3\theta)\, está exatamente no formato r=a\sin(n\theta) com a=4 e n=3. Portanto trata-se de uma rosácea (curva em pétalas).

Passo 4

Regra importante (que você deve decorar para a prova) sobre o número de pétalas de uma rosácea:
  • Se n é par, a curva r=a\sin(n\theta) (ou a\cos(n\theta)) tem 2n pétalas.
  • Se n é ímpar, a curva r=a\sin(n\theta) (ou a\cos(n\theta)) tem n pétalas.
Essa regra vem do fato de \sin(n\theta) ter período 2\pi/n e de pontos com r<0 produzirem pétalas que, para n ímpar, não criam pétalas adicionais simétricas extras.

Passo 5

Aplicando a regra ao nosso caso: aqui n=3, que é ímpar. Logo o número de pétalas é igual a n. Portanto a curva tem 3 pétalas.

Passo 6

Comprimento (ou “tamanho”) de cada pétala: o valor máximo de r ocorre quando \sin(3\theta)=1, então r_{\text{max}}=4. Assim cada pétala chega até a distância 4 da origem.

Passo 7

Vamos achar as direções (ângulos) onde ficam centradas as pétalas — isso ajuda a visualizar e é útil na prova. As máximas ocorrem quando
\sin(3\theta)=1 \quad\Longrightarrow\quad 3\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}.
Dividindo por 3,
\theta = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3},\\ k\in\mathbb{Z}.
Tomando k=0,1,2 dentro de um intervalo de comprimento 2\pi obtemos as três direções centrais das pétalas:
\theta = \frac{\pi}{6},\\ \frac{5\pi}{6},\\ \frac{3\pi}{2}
ou, em graus, 30^\circ,\\\ 150^\circ,\\\ 270^\circ.

Passo 8

Também é útil ver onde r=0 (as “raízes” que delimitam cada pétala). Resolve-se
4\sin(3\theta)=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin(3\theta)=0 \quad\Longrightarrow\quad 3\theta = k\pi,
portanto
\theta = \frac{k\pi}{3},\\ k\in\mathbb{Z}.
Esses ângulos ( 0,\\ \pi/3,\\\ 2\pi/3,\\ \pi,\\ \dots) são os limites entre pétalas; cada pétala está entre dois zeros consecutivos e tem largura angular \pi/3 (60°).

Passo 9

Resumo visual e simetria (pra você imaginar): é uma rosácea com 3 pétalas iguais, cada pétala alcança r=4, centradas nas direções \theta=\pi/6,\\\ 5\pi/6,\\\ 3\pi/2. A curva tem simetrias óbvias de rotação de 2\pi/3 (120°) porque a função \sin(3\theta) repete esse padrão.

Resposta

É uma rosácea (curva tipo “rose”) dada por r=4\sin(3\theta) com 3 pétalas.

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