Identifique o domínio em que
é derivável. Verifique se existe algum domínio que ela seja analítica. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, bora entender o que o exercício quer. A gente tem a função
onde
. O objetivo é descobrir em que pontos (ou domínio) essa função é derivável no sentido complexo e ver se existe algum domínio aberto onde ela seja analítica.
Conteúdo usado: derivadas parciais, separação em parte real e imaginária
, e as equações de Cauchy–Riemann.
Conteúdo usado: derivadas parciais, separação em parte real
Passo 2
Primeiro a gente separa
em
Reescrevendo termo a termo:
-
é parte real. -
é parte imaginária ganha ). -
: o vai pra e o vira parte imaginária . -
: o vai pra e o vira parte imaginária .
Logo
Passo 3
Agora vamos às derivadas parciais (todas contínuas, então beleza para usar Cauchy–Riemann):
As equações de Cauchy–Riemann pedem
Substituindo:
-
:
-
:
que já bate pra qualquer
.
Passo 4
Conclusão sobre derivabilidade: as condições de Cauchy–Riemann só se satisfazem quando
Ou seja, a função é complexamente derivável exatamente na reta
.
Para ser analítica, a função precisa ser derivável num domínio aberto do plano. Mas essa reta não é aberta em
, é só um traço no plano. Logo não existe domínio aberto onde
seja analítica.