Identifique o domínio em que f(z)=x^2-iy^2-x(i-1)+y(1-i) é derivável. Verifique se existe algum domínio que ela seja analítica. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, bora entender o que o exercício quer. A gente tem a função
f(z)=x^2-i,y^2-x(i-1)+y(1-i),
onde . O objetivo é descobrir em que pontos (ou domínio) essa função é derivável no sentido complexo e ver se existe algum domínio aberto onde ela seja analítica.
Conteúdo usado: derivadas parciais, separação em parte real e imaginária , e as equações de Cauchy–Riemann.

Passo 2

Primeiro a gente separa f(z)=u(x,y)+i,v(x,y) em
u(x,y)=x^2 + x + y, v(x,y)=-,y^2 - x - y
Reescrevendo termo a termo:
  • é parte real.
  • é parte imaginária ganha ).
  • : o vai pra e o vira parte imaginária .
  • : o vai pra e o vira parte imaginária .
    Logo

Passo 3

Agora vamos às derivadas parciais (todas contínuas, então beleza para usar Cauchy–Riemann):
ux = 2x+1, uy = 1, vx = -1, vy = -2y-1
As equações de Cauchy–Riemann pedem
ux = vy e uy = -,vx
Substituindo:
  1. 2x+1 = -2y - 1 Longrightarrow 2x + 2y + 2 = 0 Longrightarrow y = -,x - 1 :
1 = -(-1) = 1,
  1. :
que já bate pra qualquer .

Passo 4

Conclusão sobre derivabilidade: as condições de Cauchy–Riemann só se satisfazem quando
y = -x - 1
Ou seja, a função é complexamente derivável exatamente na reta .
Para ser analítica, a função precisa ser derivável num domínio aberto do plano. Mas essa reta não é aberta em , é só um traço no plano. Logo não existe domínio aberto onde seja analítica.

Resposta

é derivável apenas na reta . Não há domínio aberto em que seja analítica.

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