Identifique os elementos de simetria e determine o grupo de ponto das seguintes moléculas:
Passo 1
O enunciado pede: identificar os elementos de simetria e determinar o grupo de ponto da molécula
.
Informações/pressupostos que vou usar (o enunciado não trouxe figura, então uso a geometria química mais comum para ):
Informações/pressupostos que vou usar (o enunciado não trouxe figura, então uso a geometria química mais comum para
- A molécula é o dímero de
: duas unidades ligadas por uma ligação . - Na conformação mais simétrica (a que normalmente se considera para esta questão) as seis átomos (2 N e 4 O) estão aproximadamente coplanares e as duas unidades
estão dispostas em oposição (trans) ao redor da ligação . - Vou assumir explicitamente a conformação planar, trans (a que tem alta simetria). Se a molécula estivesse torcida (gauche) a simetria seria menor; aqui consideramos a forma planar e centrosimétrica.
As perguntas concretas que vou responder:
- listar todos os elementos de simetria presentes em
(na conformação planar, trans); - identificar qual é o grupo de ponto correspondente.
Passo 2
Pequeno esquema mental da geometria (para facilitar a identificação dos elementos): coloco o centro da molécula no ponto
(origem). A ligação
fica ao longo do eixo
, com um átomo de N em
e outro em
. As quatro O ficam no mesmo plano
: para cada N há duas O, uma com coordenada
e outra com coordenada
(ou seja, cada
é aproximadamente simétrica em torno do eixo
). Todos os átomos têm
(molécula planar). Este esquema é só para raciocínio; não são números, só posições relativas.
Passo 3
Breve revisão do que são os elementos de simetria (mini-aula rápida e prática):
-
: operação identidade, não faz nada. Sempre presente. -
: eixo de rotação de ordem . Uma rotação de em torno do eixo leva a molécula em si mesma. Em particular é uma rotação de . -
: plano de espelho. Reflete coordenadas em relação a um plano. indica o plano horizontal (normalmente o plano molecular), planos verticais que contêm o eixo principal, etc. -
: centro de inversão (inversão através do ponto): . -
: eixo rotoreflection (rotação seguida de reflexão), não aparece sempre.
Regra prática para identificar o grupo de ponto: se encontrar três eixos
mutuamente perpendiculares e um plano
contendo a molécula ou um centro de inversão
, a família provável é
. Vou verificar operação por operação em
.
Passo 4
Identifico o elemento trivial:
(identidade). Está presente. Sempre.
Passo 5
Procuro um eixo principal de alta ordem: como a molécula é planar com duas metades opostas, um eixo natural é o eixo perpendicular ao plano (eixo
no meu esquema). Rotação de
em torno desse eixo (rotação no plano) troca o lado direito com o esquerdo e troca cada
pela outra. Essa rotação é um
. Chamo esse eixo de
. Observação didática: para átomos que têm
(estão no plano), a rotação de
em torno de
transforma
em
.
Passo 6
Procuro eixos
adicionais perpendiculares ao primeiro:
- Eixo ao longo da ligação
(eixo no esquema). Uma rotação de em torno do eixo troca a posição das duas oxigênios que estão em e em cada , mas deixa os nitrogênios em seus lugares (porque os nitrogênios estão sobre o eixo). Assim existe um ao longo do eixo . - Eixo
(no plano, perpendicular à ligação ) também é um eixo de : a rotação de em torno de troca os nitrogênios entre si ( para ) e troca pares de oxigênios adequadamente. Logo existe um .
Resumo didático: encontrei três eixos
mutuamente perpendiculares: os eixos
,
e
.
Passo 7
Centro de inversão
: como posicionamos o centro da molécula na metade da ligação
, a inversão
troca o nitrogênio de
com o de
e troca cada oxigênio de posição com o oxigênio oposto. Todos os átomos mapeiam em posições ocupadas por átomos idênticos; portanto existe um centro de inversão no ponto médio da ligação
. Didática: a presença de dois
perpendiculares e de um centro de inversão é um forte indício de grupo com simetria centrosimétrica.
Passo 8
Planos de espelho
:
- O plano do próprio arranjo molecular (o plano que contém todos os átomos) é um plano de simetria; chamo-o
(plano horizontal). Como todos os átomos estão sobre esse plano, a reflexão em deixa todos os átomos no mesmo lugar. - Existem ainda dois planos verticais que contêm eixos
: um plano que contém os eixos e (vou chamar , corresponde a reflexão ) e outro que contém e ( , reflexão ). Essas reflexões trocam pares de oxigênios ou trocam as metades direita/esquerda. Ambos são planos de simetria.
Assim estão presentes
,
e
.
Passo 9
Listagem completa dos elementos que já achamos:
-
(identidade). - Três rotações
: , , (mutuamente perpendiculares). - Centro de inversão
. - Três planos de espelho:
(o plano molecular, que também chamei ), e .
Comentário didático: esse conjunto de 8 operações
é exatamente o conjunto de operações do grupo de ponto
.
Passo 10
Por que isso implica que o grupo de ponto é
(explicação passo a passo):
- Grupo
(ou ) é caracterizado por um eixo principal e eixos perpendiculares quando é 2 (no caso temos três eixos mutuamente perpendiculares). - O sufixo
em indica que existe um plano horizontal de reflexão (ou, equivalentemente, um centro de inversão mais as reflexões). - Como encontramos três eixos
perpendiculares, centro de inversão e os planos de espelho correspondentes, a identificação do grupo é unívoca: . - Para reforçar: grupos próximos que poderiam confundir são
(que não tem nem ) ou (que só teria um e um ); aqui temos mais simetrias, portanto a classificação correta é .
Passo 11
Resumo prático (mapa mental para usar na prova):
- Procure eixos
. Se encontrar três perpendiculares → pensar em ou / . - Verifique presença de
ou de . Se houver e (plano molecular), então é . - No caso de
planar, trans: há → .