Identifique os elementos de simetria e determine o grupo de ponto das seguintes moléculas:
\mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{4}

Passo 1

O enunciado pede: identificar os elementos de simetria e determinar o grupo de ponto da molécula \mathrm{N}_2\mathrm{O}_4.
Informações/pressupostos que vou usar (o enunciado não trouxe figura, então uso a geometria química mais comum para \mathrm{N}_2\mathrm{O}_4):
  • A molécula é o dímero de \mathrm{NO}_2: duas unidades \mathrm{NO}_2 ligadas por uma ligação \mathrm{N\!-\!N}.
  • Na conformação mais simétrica (a que normalmente se considera para esta questão) as seis átomos (2 N e 4 O) estão aproximadamente coplanares e as duas unidades \mathrm{NO}_2 estão dispostas em oposição (trans) ao redor da ligação \mathrm{N\!-\!N}.
  • Vou assumir explicitamente a conformação planar, trans (a que tem alta simetria). Se a molécula estivesse torcida (gauche) a simetria seria menor; aqui consideramos a forma planar e centrosimétrica.
As perguntas concretas que vou responder:
  1. listar todos os elementos de simetria presentes em \mathrm{N}_2\mathrm{O}_4 (na conformação planar, trans);
  2. identificar qual é o grupo de ponto correspondente.

Passo 2

Pequeno esquema mental da geometria (para facilitar a identificação dos elementos): coloco o centro da molécula no ponto O (origem). A ligação \mathrm{N\!-\!N} fica ao longo do eixo x, com um átomo de N em +x e outro em -x. As quatro O ficam no mesmo plano xy: para cada N há duas O, uma com coordenada +y e outra com coordenada -y (ou seja, cada \mathrm{NO}_2 é aproximadamente simétrica em torno do eixo \mathrm{N\!-\!N}). Todos os átomos têm z=0 (molécula planar). Este esquema é só para raciocínio; não são números, só posições relativas.

Passo 3

Breve revisão do que são os elementos de simetria (mini-aula rápida e prática):
  • E: operação identidade, não faz nada. Sempre presente.
  • C_n: eixo de rotação de ordem n. Uma rotação de 360^\circ/n em torno do eixo leva a molécula em si mesma. Em particular C_2 é uma rotação de 180^\circ.
  • \sigma: plano de espelho. Reflete coordenadas em relação a um plano. \sigma_h indica o plano horizontal (normalmente o plano molecular), \sigma_v planos verticais que contêm o eixo principal, etc.
  • i: centro de inversão (inversão através do ponto): (x,y,z)\mapsto(-x,-y,-z).
  • S_n: eixo rotoreflection (rotação seguida de reflexão), não aparece sempre.
Regra prática para identificar o grupo de ponto: se encontrar três eixos C_2 mutuamente perpendiculares e um plano \sigma_h contendo a molécula ou um centro de inversão i, a família provável é \mathrm{D}_{2h}. Vou verificar operação por operação em \mathrm{N}_2\mathrm{O}_4.

Passo 4

Identifico o elemento trivial: E (identidade). Está presente. Sempre.

Passo 5

Procuro um eixo principal de alta ordem: como a molécula é planar com duas metades opostas, um eixo natural é o eixo perpendicular ao plano (eixo z no meu esquema). Rotação de 180^\circ em torno desse eixo (rotação no plano) troca o lado direito com o esquerdo e troca cada \mathrm{NO}_2 pela outra. Essa rotação é um C_2. Chamo esse eixo de C_2(z). Observação didática: para átomos que têm z=0 (estão no plano), a rotação de 180^\circ em torno de z transforma (x,y,0) em (-x,-y,0).

Passo 6

Procuro eixos C_2 adicionais perpendiculares ao primeiro:
  • Eixo ao longo da ligação \mathrm{N\!-\!N} (eixo x no esquema). Uma rotação de 180^\circ em torno do eixo \mathrm{N\!-\!N} troca a posição das duas oxigênios que estão em +y e -y em cada \mathrm{NO}_2, mas deixa os nitrogênios em seus lugares (porque os nitrogênios estão sobre o eixo). Assim existe um C_2(x) ao longo do eixo \mathrm{N\!-\!N}.
  • Eixo y (no plano, perpendicular à ligação \mathrm{N\!-\!N}) também é um eixo de C_2: a rotação de 180^\circ em torno de y troca os nitrogênios entre si ( +x para -x) e troca pares de oxigênios adequadamente. Logo existe um C_2(y).
Resumo didático: encontrei três eixos C_2 mutuamente perpendiculares: os eixos x, y e z.

Passo 7

Centro de inversão i: como posicionamos o centro da molécula na metade da ligação \mathrm{N\!-\!N}, a inversão (x,y,z)\mapsto(-x,-y,-z) troca o nitrogênio de +x com o de -x e troca cada oxigênio de posição com o oxigênio oposto. Todos os átomos mapeiam em posições ocupadas por átomos idênticos; portanto existe um centro de inversão no ponto médio da ligação \mathrm{N\!-\!N}. Didática: a presença de dois C_2 perpendiculares e de um centro de inversão é um forte indício de grupo com simetria centrosimétrica.

Passo 8

Planos de espelho \sigma:
  • O plano do próprio arranjo molecular (o plano que contém todos os átomos) é um plano de simetria; chamo-o \sigma_h (plano horizontal). Como todos os átomos estão sobre esse plano, a reflexão em \sigma_h deixa todos os átomos no mesmo lugar.
  • Existem ainda dois planos verticais que contêm eixos C_2: um plano que contém os eixos x e z (vou chamar \sigma_{xz}, corresponde a reflexão y\mapsto -y) e outro que contém y e z ( \sigma_{yz}, reflexão x\mapsto -x). Essas reflexões trocam pares de oxigênios ou trocam as metades direita/esquerda. Ambos são planos de simetria.
Assim estão presentes \sigma_h, \sigma_{xz} e \sigma_{yz}.

Passo 9

Listagem completa dos elementos que já achamos:
  • E (identidade).
  • Três rotações C_2: C_2(x), C_2(y), C_2(z) (mutuamente perpendiculares).
  • Centro de inversão i.
  • Três planos de espelho: \sigma_{xy} (o plano molecular, que também chamei \sigma_h), \sigma_{xz} e \sigma_{yz}.
Comentário didático: esse conjunto de 8 operações \{E,\;C_2(x),\;C_2(y),\;C_2(z),\;i,\;\sigma_{xy},\;\sigma_{xz},\;\sigma_{yz}\} é exatamente o conjunto de operações do grupo de ponto \mathrm{D}_{2h}.

Passo 10

Por que isso implica que o grupo de ponto é \mathrm{D}_{2h} (explicação passo a passo):
  • Grupo D_{n} (ou \mathrm{D}_n) é caracterizado por um eixo principal C_n e n eixos C_2 perpendiculares quando n é 2 (no caso n=2 temos três eixos C_2 mutuamente perpendiculares).
  • O sufixo h em \mathrm{D}_{2h} indica que existe um plano horizontal de reflexão \sigma_h (ou, equivalentemente, um centro de inversão mais as reflexões).
  • Como encontramos três eixos C_2 perpendiculares, centro de inversão e os planos de espelho correspondentes, a identificação do grupo é unívoca: \mathrm{D}_{2h}.
  • Para reforçar: grupos próximos que poderiam confundir são \mathrm{D}_{2} (que não tem i nem \sigma_h) ou \mathrm{C}_{2h} (que só teria um C_2 e um \sigma_h); aqui temos mais simetrias, portanto a classificação correta é \mathrm{D}_{2h}.

Passo 11

Resumo prático (mapa mental para usar na prova):
  • Procure eixos C_n. Se encontrar três C_2 perpendiculares → pensar em \mathrm{D}_2 ou \mathrm{D}_{2h} / \mathrm{D}_{2d}.
  • Verifique presença de i ou de \sigma_h. Se houver i e \sigma_h (plano molecular), então é \mathrm{D}_{2h}.
  • No caso de \mathrm{N}_2\mathrm{O}_4 planar, trans: há C_2(x),C_2(y),C_2(z),\;i,\;\sigma_{xy},\sigma_{xz},\sigma_{yz} \mathrm{D}_{2h}.

Resposta

\mathrm{D}_{2h}

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