Prove que se x^{n}=y^{n} e n é par, então x=y ou x=-y.

Passo 1

O enunciado dá que \,x^{n}=y^{n}\, e que n é par. Ou seja:
  • Dados: x,y são números reais (assumido) e n\in\mathbb{N} é par.
  • Pedido: provar que \;x=y\; ou \;x=-y\;.

Passo 2

Escreve n como o dobro de algum inteiro: como n é par, existem m\in\mathbb{N} tais que \,n=2m.)
Substituindo na igualdade dada obtemos
x^{2m}=y^{2m}.

Passo 3

Observe que x^{2m}=(x^{2})^{m} e y^{2m}=(y^{2})^{m}. Defina a=x^{2} e b=y^{2}. Então a\ge 0, b\ge 0 e a igualdade vira
a^{m}=b^{m}.
Agora use o fato simples e importante: para m\in\mathbb{N} a função t\mapsto t^{m} é estritamente crescente em [0,\infty). Assim, se a^{m}=b^{m} com a,b\ge0, necessariamente a=b. Portanto
x^{2}=y^{2}.

Passo 4

Da igualdade \,x^{2}=y^{2}\, segue
x^{2}-y^{2}=0.
Fatorando a diferença de quadrados:
(x-y)(x+y)=0.
Logo, pelo princípio do produto zero, temos duas possibilidades: x-y=0 ou x+y=0. Ou seja,
x=y\quad\text{ou}\quad x=-y.

Passo 5

Comentário didático rápido: a ideia-chave foi reduzir a potência par a uma igualdade de quadrados (ou de não negativos elevados a m) para usar a injetividade da potenciação em [0,\infty), e em seguida aplicar a fatoração x^{2}-y^{2}. Exemplos rápidos: se n=2 temos diretamente x^{2}=y^{2}\Rightarrow x=\pm y; se n=4 então x^{4}=y^{4}\Rightarrow (x^{2})^{2}=(y^{2})^{2}\Rightarrow x^{2}=y^{2}\Rightarrow x=\pm y.

Resposta

x=y ou x=-y

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