Prove que se
e
é par, então
ou
.
Passo 1
O enunciado dá que
e que
é par. Ou seja:
- Dados:
são números reais (assumido) e é par. - Pedido: provar que
ou .
Passo 2
Escreve
como o dobro de algum inteiro: como
é par, existem
tais que
.)
Substituindo na igualdade dada obtemos
Substituindo na igualdade dada obtemos
Passo 3
Observe que
e
. Defina
e
. Então
,
e a igualdade vira
Agora use o fato simples e importante: para
a função
é estritamente crescente em
. Assim, se
com
, necessariamente
. Portanto
Passo 4
Da igualdade
segue
Fatorando a diferença de quadrados:
Logo, pelo princípio do produto zero, temos duas possibilidades:
ou
. Ou seja,
Passo 5
Comentário didático rápido: a ideia-chave foi reduzir a potência par a uma igualdade de quadrados (ou de não negativos elevados a
) para usar a injetividade da potenciação em
, e em seguida aplicar a fatoração
. Exemplos rápidos: se
temos diretamente
; se
então
.