Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde
e
são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Vamos identificar se é linear e, em seguida, encontrar a solução geral usando o método do fator integrante ou o método dos coeficientes não determinados.
Passo 2
Para classificar, colocamos em forma padrão de equação linear non-homogênea:
Como o termo
e sua derivada aparecem de forma linear e o lado direito é função conhecida de
, a equação é linear de primeira ordem.
Passo 3
Resolvemos primeiro a parte homogênea
Essa é separável ou reconhece-se que a solução é exponencial. Integramos
onde
é constante arbitrária.
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
. Pelo método dos coeficientes não determinados, tentamos
com
constantes. Calculamos
e substituímos em
:
Igualando coeficientes, vem
Logo
Passo 5
A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular:
onde
é constante arbitrária.
Resposta
e a equação dada é uma EDO linear de primeira ordem.