Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\boldsymbol{y}^{\prime}=\boldsymbol{e}^{2 \boldsymbol{x}}+\boldsymbol{y}-\mathbf{1}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
y' = e^{2x} + y - 1
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Vamos identificar se é linear e, em seguida, encontrar a solução geral usando o método do fator integrante ou o método dos coeficientes não determinados.

Passo 2

Para classificar, colocamos em forma padrão de equação linear non-homogênea:
y' - y = e^{2x} - 1.
Como o termo y e sua derivada aparecem de forma linear e o lado direito é função conhecida de x, a equação é linear de primeira ordem.

Passo 3

Resolvemos primeiro a parte homogênea
y_h' - y_h = 0.
Essa é separável ou reconhece-se que a solução é exponencial. Integramos
\frac{y_h'}{y_h} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \ln|y_h| = x + C_1 \quad\Longrightarrow\quad y_h = C\,e^{x},
onde C é constante arbitrária.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular y_p. Pelo método dos coeficientes não determinados, tentamos
y_p = A e^{2x} + B,
com A,B constantes. Calculamos
y_p' = 2A e^{2x},
e substituímos em y' - y = e^{2x}-1:
2A e^{2x} - \bigl(A e^{2x} + B\bigr) = e^{2x} - 1 \quad\Longrightarrow\quad (A)e^{2x} - B = e^{2x} - 1.
Igualando coeficientes, vem
A = 1, \qquad -\,B = -1 \;\Longrightarrow\; B = 1.
Logo
y_p = e^{2x} + 1.

Passo 5

A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular:
y(x) = y_h + y_p = C\,e^{x} + e^{2x} + 1,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

y(x) = C\,e^{x} + e^{2x} + 1,
e a equação dada é uma EDO linear de primeira ordem.

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