Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde
e
são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
Precisamos (a) classificar se ela é linear ou não, e (b) encontrar a solução geral. Para isso, vamos usar os métodos de variáveis separáveis e de equação exata, dois dos principais que vimos.
Passo 2
Para ver se é linear, escrevemos em forma de derivada
Na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem teríamos
, mas aqui
está no denominador. Logo, não é linear.
Passo 3
Verificamos que é separável:
Agora integramos cada lado em sua variável.
Passo 4
Integramos
Reunindo as constantes numa única
, temos
Passo 5
Como alternativa, notamos que a equação em forma diferencial
com
e
é exata, pois
Logo existe
tal que
e
. Integrando
obtemos
e então
leva a
. Assim
mesma solução obtida acima.
Resposta
A equação é não linear (mas separável e exata) e possui solução geral
com
constante arbitrária.