Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\boldsymbol{4} \boldsymbol{y} \boldsymbol{d} \boldsymbol{y}+\boldsymbol{x} \boldsymbol{d} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
4\,y\,dy + x\,dx = 0
Precisamos (a) classificar se ela é linear ou não, e (b) encontrar a solução geral. Para isso, vamos usar os métodos de variáveis separáveis e de equação exata, dois dos principais que vimos.

Passo 2

Para ver se é linear, escrevemos em forma de derivada
4\,y\,\frac{dy}{dx} + x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4\,y}.
Na forma padrão de uma equação linear de 1ª ordem teríamos \frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x), mas aqui y está no denominador. Logo, não é linear.

Passo 3

Verificamos que é separável:
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{4\,y} \quad\Longrightarrow\quad 4\,y\,dy = -\,x\,dx.
Agora integramos cada lado em sua variável.

Passo 4

Integramos
\int 4\,y\,dy = 2\,y^2 + C_1, \qquad \int -\,x\,dx = -\frac{x^2}{2} + C_2.
Reunindo as constantes numa única C, temos
2\,y^2 = -\frac{x^2}{2} + C \quad\Longrightarrow\quad 4\,y^2 = -x^2 + C' \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 4\,y^2 = C'.

Passo 5

Como alternativa, notamos que a equação em forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com M=x e N=4y é exata, pois
\frac{\partial M}{\partial y}=0 \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}=0.
Logo existe \Phi(x,y) tal que \Phi_x = x e \Phi_y = 4y. Integrando \Phi_x = x obtemos \Phi=\tfrac{x^2}{2}+h(y) e então \Phi_y= h'(y)=4y leva a h(y)=2y^2. Assim
\Phi(x,y)=\frac{x^2}{2}+2y^2 = C \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 4y^2 = C',
mesma solução obtida acima.

Resposta

A equação é não linear (mas separável e exata) e possui solução geral
x^2 + 4\,y^2 = C,
com C constante arbitrária.

Exercícios relacionados