Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}^{\prime}=\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x\,y' = x + y
e pede para identificar se ela é linear ou não e, em seguida, encontrar a solução geral considerando \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} constantes (aqui não aparecem explicitamente). O conteúdo é classificação e solução de EDOs lineares de 1.º grau, usando tanto o método do fator integrante quanto a substituição clássica para equações homogêneas em variáveis proporcionais.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão:
y' - \frac{1}{x}\,y = 1.
Essa é uma EDO linear de primeira ordem, com coeficiente de y igual a -1/x e termo não homogêneo igual a 1.

Passo 3

Método do fator integrante. Calculamos
\mu(x) = \exp\Bigl(\int -\frac{1}{x}\,dx\Bigr) =\exp(-\ln\lvert x\rvert) =\frac{1}{x}.
Multiplicando a forma padrão por \mu(x):
\frac{1}{x}\,y' - \frac{1}{x^2}\,y = \frac{1}{x} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)' = \frac{1}{x}.
Integrando ambos os lados:
\frac{y}{x} = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 4

Método da substituição homogênea em variáveis proporcionais. Defina
u(x) = \frac{y(x)}{x}.
Então
y = x\,u,\quad y' = u + x\,u'.
Substituindo em x\,y' = x + y:
x\,(u + x\,u') = x + x\,u \quad\Longrightarrow\quad x\,u + x^2\,u' = x + x\,u \quad\Longrightarrow\quad x^2\,u' = x \quad\Longrightarrow\quad u' = \frac{1}{x}.
Integrando:
u(x) = \ln\lvert x\rvert + C.
Como y = x\,u, obtemos a mesma expressão que pelo fator integrante.

Passo 5

Voltando a y:
y = x\bigl(\ln\lvert x\rvert + C\bigr) = x\ln\lvert x\rvert + C\,x,
que é a solução geral da EDO.

Resposta

A equação é linear de primeira ordem e a solução geral é
y(x) = x\ln\lvert x\rvert + C\,x,
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados