Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde
e
são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para identificar se ela é linear ou não e, em seguida, encontrar a solução geral considerando
e
constantes (aqui não aparecem explicitamente). O conteúdo é classificação e solução de EDOs lineares de 1.º grau, usando tanto o método do fator integrante quanto a substituição clássica para equações homogêneas em variáveis proporcionais.
Passo 2
Reescrevendo em forma padrão:
Essa é uma EDO linear de primeira ordem, com coeficiente de
igual a
e termo não homogêneo igual a
.
Passo 3
Método do fator integrante. Calculamos
Multiplicando a forma padrão por
:
Integrando ambos os lados:
Passo 4
Método da substituição homogênea em variáveis proporcionais. Defina
Então
Substituindo em
:
Integrando:
Como
, obtemos a mesma expressão que pelo fator integrante.
Passo 5
Voltando a
:
que é a solução geral da EDO.
Resposta
A equação é linear de primeira ordem e a solução geral é
onde
é constante de integração.