Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\boldsymbol{y}^{\prime}=\frac{\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}}

Passo 1

O enunciado fornece a equação
y' = \frac{y - x}{y + x},
pede para identificar se é linear ou não e encontrar a solução geral. O conteúdo aqui é EDO de primeira ordem, classificar linearidade e aplicar método de variáveis homogêneas.

Passo 2

Para testar linearidade, tente escrever na forma y' + p(x)\,y = q(x). Não é possível porque o lado direito tem y no denominador — logo é não linear. Observa-se, porém, que
\frac{y - x}{y + x} = f\!\bigl(y/x\bigr),
ou seja, é uma função de y/x. Isso caracteriza uma EDO homogênea de grau zero e permite a substituição
y = v x.

Passo 3

Com y = v x temos
y' = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo na EDO:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{v x - x}{v x + x} = \frac{v - 1}{v + 1},
logo
x\frac{dv}{dx} = \frac{v-1}{v+1} - v = -\,\frac{v^2+1}{v+1}.
Assim
\frac{dv}{dx} = -\,\frac{v^2+1}{(v+1)\,x}.

Passo 4

Separe as variáveis:
\frac{v+1}{v^2+1}\,dv = -\frac{dx}{x}.
Integre ambos os lados:
\int \frac{v}{v^2+1}\,dv + \int \frac{1}{v^2+1}\,dv = -\int \frac{dx}{x} \;\Longrightarrow\; \frac12\ln\bigl(v^2+1\bigr) + \arctan(v) = -\ln\bigl|x\bigr| + C.

Passo 5

Volte a y com v = y/x:
\frac12\ln\!\Bigl(\frac{y^2}{x^2}+1\Bigr) + \arctan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = -\ln|x| + C.
Observe que
\ln\!\Bigl(\tfrac{y^2}{x^2}+1\Bigr) = \ln\!\Bigl(\tfrac{y^2+x^2}{x^2}\Bigr) = \ln(y^2+x^2) - 2\ln|x|.
Substituindo e reunindo constantes, obtemos a forma implícita mais simples:

Resposta

\ln\bigl(y^2 + x^2\bigr) \;+\; 2\,\arctan\!\Bigl(\tfrac{y}{x}\Bigr) = C,
que é a solução geral da EDO não linear homogênea dada.

Exercícios relacionados