Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
4 \operatorname{sen} \boldsymbol{y} \boldsymbol{d} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{x} \cos \boldsymbol{y} \boldsymbol{d} \boldsymbol{y}=\mathbf{0}

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
4\sin y\,dx + x\cos y\,dy = 0
Precisamos classificar se é linear em y (isto é, da forma \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)) ou não, e em seguida encontrar a solução geral.

Passo 2

Escrevendo em forma de derivada:
x\cos y\,\frac{dy}{dx} = -4\sin y \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{4\sin y}{x\cos y} = -\frac{4}{x}\tan y.
Como aparece \tan y, não se trata de uma EDO linear em y: é uma EDO não linear, mas que se mostra separável.

Passo 3

Separemos variáveis:
\frac{dy}{\tan y} = -\frac{4}{x}\,dx \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{\cos y}{\sin y}\,dy = -4\,\frac{dx}{x}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{\cos y}{\sin y}\,dy = \int -4\,\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|\sin y\bigr| = -4\ln|x| + C_1.

Passo 5

Exponentiando:
\bigl|\sin y\bigr| = e^{C_1}\,|x|^{-4}.
Chamando C = \pm e^{C_1} (constante arbitrária), obtemos a solução implícita
x^4\sin y = C.

Resposta

A EDO é não linear (mas separável) e sua solução geral é
x^4\sin y = C,
onde C é constante arbitrária.

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