Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde
e
são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para identificar se ela é linear ou não e, em seguida, obter a solução geral. Aqui o conteúdo é a equação de Riccati, que é um caso não linear de primeira ordem.
Passo 2
Dividindo ambos os lados por
(supondo
), obtemos a forma padrão
que deixa claro o termo
. Por isso a equação é não linear – é uma equação de Riccati.
Passo 3
Para resolver uma Riccati, buscamos primeiro uma solução particular do tipo
Substituindo em
temos
e
Multiplicando por
fica
Logo há duas soluções particulares
e
.
Passo 4
Escolhendo
, fazemos a mudança de variável
Calculando
e substituindo na equação original, chega-se a uma equação linear em
:
Passo 5
Para resolver
usamos o fator integrante
Multiplicando por
e integrando, obtemos
e portanto
Passo 6
Voltando a
, temos
Juntando em um só quociente, chega-se à forma simplificada
onde
é constante arbitrária de integração.
Resposta
A equação é não linear (é uma Riccati). A solução geral é
com
.