Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\boldsymbol{x}^{2} \boldsymbol{y}^{\prime}=4-\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}^{2} \boldsymbol{y}^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
x^{2}\,y' \;=\;4 \;-\;x\,y\;-\;x^{2}\,y^{2}
e pede para identificar se ela é linear ou não e, em seguida, obter a solução geral. Aqui o conteúdo é a equação de Riccati, que é um caso não linear de primeira ordem.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x^{2} (supondo x\neq0), obtemos a forma padrão
y' \;+\;\frac{1}{x}\,y \;+\;y^{2} \;=\;\frac{4}{x^{2}},
que deixa claro o termo y^{2}. Por isso a equação é não linear – é uma equação de Riccati.

Passo 3

Para resolver uma Riccati, buscamos primeiro uma solução particular do tipo
y_{p}(x)=\frac{\alpha}{x}.
Substituindo em
y' +\frac{1}{x}\,y +y^{2} = \frac{4}{x^{2}}
temos y'_{p}=-\alpha/x^{2} e
-\frac{\alpha}{x^{2}} \;+\;\frac{1}{x}\,\frac{\alpha}{x} \;+\;\frac{\alpha^{2}}{x^{2}} =\frac{4}{x^{2}}.
Multiplicando por x^{2} fica
-\alpha + \alpha + \alpha^{2} =4 \quad\Longrightarrow\quad \alpha^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=\pm2.
Logo há duas soluções particulares \displaystyle y_{p}=\frac{2}{x} e \displaystyle y_{p}=-\frac{2}{x}.

Passo 4

Escolhendo y_{p}(x)=2/x, fazemos a mudança de variável
y(x)=\frac{2}{x} \;+\;\frac{1}{u(x)}.
Calculando y' e substituindo na equação original, chega-se a uma equação linear em u:
u' - \frac{5}{x}\,u = 1.

Passo 5

Para resolver
u' - \frac{5}{x}\,u = 1
usamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\Bigl(\int -\tfrac{5}{x}dx\Bigr)=x^{-5}.
Multiplicando por \mu e integrando, obtemos
(u\,x^{-5})' = x^{-5} \quad\Longrightarrow\quad u\,x^{-5} = \int x^{-5}dx = -\frac{x^{-4}}{4} + C
e portanto
u(x) = -\frac{x}{4} + C\,x^{5}.

Passo 6

Voltando a y, temos
y(x) =\frac{2}{x}+\frac{1}{u(x)} =\frac{2}{x} \;+\;\frac{1}{-\,x/4 + C\,x^{5}} =\frac{2}{x} \;+\;\frac{4}{x\,(4C\,x^{4}-1)}.
Juntando em um só quociente, chega-se à forma simplificada
y(x) =\frac{2\bigl(4C\,x^{4}+1\bigr)}{x\bigl(4C\,x^{4}-1\bigr)},
onde C é constante arbitrária de integração.

Resposta

A equação é não linear (é uma Riccati). A solução geral é
y(x) =\frac{2\bigl(4C\,x^{4}+1\bigr)}{x\bigl(4C\,x^{4}-1\bigr)},
com C\in\mathbb{R}.

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