Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde
e
são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial em forma diferencial
Devemos identificar se é linear (da forma
ou equivalente) e, em seguida, obter a solução geral. Aqui vemos termos como
,
e
, o que foge à forma linear em
. Vamos buscar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 2
Definimos
Calculamos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante do tipo
. Após multiplicar e igualar
,
obtemos as condições que levam a
obtemos as condições que levam a
Logo
.
Passo 4
Multiplicando a equação original por
, vem
que é exata, pois
Então existe uma função potencial
tal que
Como
deve ser
, obtém-se
e
Portanto
Passo 5
A solução geral implícita, após reintegrar o fator integrante, é
onde
é constante de integração.