Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\left(\frac{4 x^{3}}{y^{2}}+\frac{3}{y}\right) d x+\left(\frac{3 x}{y^{2}}+4 y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial em forma diferencial
\Bigl(\frac{4x^{3}}{y^{2}}+\frac{3}{y}\Bigr)\,dx \;+\;\Bigl(\frac{3x}{y^{2}}+4y\Bigr)\,dy \;=\;0
Devemos identificar se é linear (da forma \,dy/dx + P(x)\,y = Q(x) ou equivalente) e, em seguida, obter a solução geral. Aqui vemos termos como x^{3}/y^{2}, 3/y e 4y, o que foge à forma linear em y. Vamos buscar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 2

Definimos
M(x,y)=\frac{4x^{3}}{y^{2}}+\frac{3}{y}, \quad N(x,y)=\frac{3x}{y^{2}}+4y.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =-8\frac{x^{3}}{y^{3}}-3\frac{1}{y^{2}}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =3\frac{1}{y^{2}}.
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante do tipo \mu(x,y)=x^{m}y^{n}. Após multiplicar e igualar \partial(\mu M)/\partial y=\partial(\mu N)/\partial x,
obtemos as condições que levam a
m=0, \quad n=2.
Logo \mu(x,y)=y^{2}.

Passo 4

Multiplicando a equação original por y^{2}, vem
\bigl(4x^{3}+3y\bigr)\,dx \;+\;\bigl(3x+4y^{3}\bigr)\,dy = 0,
que é exata, pois
\frac{\partial}{\partial y}(4x^{3}+3y)=3 =\frac{\partial}{\partial x}(3x+4y^{3}).
Então existe uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=4x^{3}+3y \quad\Longrightarrow\quad F(x,y)=x^{4}+3xy+h(y).
Como \partial F/\partial y =3x+h'(y) deve ser 3x+4y^{3}, obtém-se h'(y)=4y^{3} e
h(y)=y^{4}.
Portanto
F(x,y)=x^{4}+3xy+y^{4}.

Passo 5

A solução geral implícita, após reintegrar o fator integrante, é
x^{4}+y^{4}+3xy = C,
onde C é constante de integração.

Resposta

x^{4} + y^{4} + 3xy = C.

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