Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\boldsymbol{y}^{\prime}-\boldsymbol{y}=\mathbf{3} \boldsymbol{e}^{\boldsymbol{x}}

Passo 1

O enunciado apresenta a equação
y' - y = 3e^x
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. O conteúdo aqui é “equações lineares de 1ª ordem” e vamos aplicar métodos como fator integrante, variação de constantes e coeficientes a determinar.

Passo 2

Para ver se é linear, escrevemos na forma padrão
y' + p(x)\,y = q(x).
No nosso caso p(x)=-1 e q(x)=3e^x. Como y e suas derivadas aparecem só de 1ª potência e não há produtos ou potências de y, é uma EDO LINEAR de 1ª ordem.

Passo 3

Método do fator integrante:
  1. Calcular \mu(x)=\exp\bigl(\int p(x)\,dx\bigr)=\exp\bigl(\int -1\,dx\bigr)=e^{-x}.
  2. Multiplicar a equação original por \mu(x):
e^{-x}y' - e^{-x}y = 3.
  1. Reconhecemos o lado esquerdo como derivada de e^{-x}y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}y\bigr) = e^{-x}y' + (-e^{-x})y = e^{-x}y' - e^{-x}y.
  1. Integramos ambos os lados em x:
\frac{d}{dx}(e^{-x}y)=3 \quad\Longrightarrow\quad e^{-x}y = 3x + C.
  1. Isolar y:
y = e^x\,(3x + C) = 3x e^x + C e^x.

Passo 4

Método dos coeficientes a determinar (caso de coeficientes constantes):
  1. Solução geral da homogênea y_h vem de y' - y =0, ou seja
y_h = C e^x.
  1. Procuramos uma particular y_p para 3e^x. Tentamos
y_p = A x e^x,
pois e^x é solução da homogênea.
3. Calculamos y_p':
y_p' = A e^x + A x e^x.
  1. Substituímos em y' - y =3e^x:
(A e^x + A x e^x) - (A x e^x) = A e^x = 3e^x \quad\Longrightarrow\quad A=3.
  1. Logo
y_p = 3x e^x \quad\text{e}\quad y = y_h + y_p = C e^x + 3x e^x.

Passo 5

Método de variação de constantes:
  1. Escrevemos y = u(x)e^x.
  2. Então
y' = u'e^x + u e^x.
  1. Substituindo em y' - y =3e^x:
(u'e^x + u e^x) - u e^x = u'e^x = 3e^x \quad\Longrightarrow\quad u' = 3.
  1. Integrando u'=3 u = 3x + C.
  2. Logo
y = (3x + C)e^x = 3x e^x + C e^x.

Resposta

A equação é linear e sua solução geral é
y(x) = 3x e^x + C e^x,\quad C\in\mathbb{R}.

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