Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde
e
são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. O conteúdo aqui é “equações lineares de 1ª ordem” e vamos aplicar métodos como fator integrante, variação de constantes e coeficientes a determinar.
Passo 2
Para ver se é linear, escrevemos na forma padrão
No nosso caso
e
. Como
e suas derivadas aparecem só de 1ª potência e não há produtos ou potências de
, é uma EDO LINEAR de 1ª ordem.
Passo 3
Método do fator integrante:
- Calcular
- Multiplicar a equação original por
:
- Reconhecemos o lado esquerdo como derivada de
, pois
- Integramos ambos os lados em
:
- Isolar
:
Passo 4
Método dos coeficientes a determinar (caso de coeficientes constantes):
- Solução geral da homogênea
vem de , ou seja
- Procuramos uma particular
para . Tentamos
pois
é solução da homogênea.
3. Calculamos :
3. Calculamos
- Substituímos em
:
- Logo
Passo 5
Método de variação de constantes:
- Escrevemos
. - Então
- Substituindo em
:
- Integrando
dá . - Logo
Resposta
A equação é linear e sua solução geral é