Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde
e
são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
e pede (a) identificar se ela é linear ou não, e (b) encontrar a solução geral. O conteúdo aqui é classificação de EDO e solução por variáveis separáveis, já que a equação não se encaixa na forma linear usual.
Passo 2
Para uma EDO ser linear de primeira ordem, ela deve poder ser escrita como
onde
e
dependem só de
. No nosso caso temos
Aqui o termo que multiplica
ou o “termo sem derivada” depende de
. Logo, a equação é não linear.
Passo 3
Como a equação é não linear, tentamos o método de separação de variáveis. Reescrevemos
de modo a agrupar
de um lado e
do outro:
Passo 4
Integramos ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Multiplicando por 3 e rearranjando, obtemos a solução implícita
com
. Para a forma explícita em
:
Resposta
A equação é não linear, e sua solução geral é
onde
é constante arbitrária.