Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso. \boldsymbol{y} \boldsymbol{d} \boldsymbol{x}+\left(\mathbf{2} \boldsymbol{x} \boldsymbol{y}-\boldsymbol{e}^{-\mathbf{2} \boldsymbol{y}}\right) \boldsymbol{d} \boldsymbol{y}=\mathbf{0}
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial em forma diferencial
y\,dx + \bigl(2xy - e^{-2y}\bigr)\,dy = 0
que é de primeira ordem. Vamos verificar se ela é linear em y(x), depois testar exatidão e, se necessário, usar fator integrante.
Passo 2
Para ver linearidade, escrevemos em forma y' + P(x)\,y = Q(x). Dividindo tudo por dx e isolando y':