Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\boldsymbol{y}^{2} \boldsymbol{y}^{\prime}+\boldsymbol{x}^{2}=\mathbf{0}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y^{2}\,\frac{dy}{dx} + x^{2} = 0
e pede (a) identificar se ela é linear ou não, e (b) encontrar a solução geral. O conteúdo aqui é classificação de EDO e solução por variáveis separáveis, já que a equação não se encaixa na forma linear usual.

Passo 2

Para uma EDO ser linear de primeira ordem, ela deve poder ser escrita como
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
onde P e Q dependem só de x. No nosso caso temos
y^{2}\,\frac{dy}{dx} = -x^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\,\frac{x^{2}}{y^{2}}.
Aqui o termo que multiplica dy/dx ou o “termo sem derivada” depende de y. Logo, a equação é não linear.

Passo 3

Como a equação é não linear, tentamos o método de separação de variáveis. Reescrevemos
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{x^{2}}{y^{2}}
de modo a agrupar y de um lado e x do outro:
y^{2}\,dy = -\,x^{2}\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int y^{2}\,dy = \int -\,x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^{3}}{3} = -\,\frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicando por 3 e rearranjando, obtemos a solução implícita
y^{3} + x^{3} = C',
com C'=3C. Para a forma explícita em y:
y(x) = \bigl(C' - x^{3}\bigr)^{\!1/3}.

Resposta

A equação é não linear, e sua solução geral é
y^{3} + x^{3} = C \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \bigl(C - x^{3}\bigr)^{\!1/3},
onde C é constante arbitrária.

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