Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\boldsymbol{y} \boldsymbol{y}^{\prime}=\boldsymbol{\operatorname { c o s }}^{2} \boldsymbol{w} \boldsymbol{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y\,\frac{dy}{dx} = \cos^2\bigl(w x\bigr),
onde w é constante. Precisamos identificar se é linear e, em seguida, determinar sua solução geral. Observamos que aparece o produto y\cdot y', logo não é linear, mas é uma equação separável.

Passo 2

Para resolver por separação de variáveis, escrevemos
y\,\frac{dy}{dx} = \cos^2\bigl(w x\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y\,dy = \cos^2\bigl(w x\bigr)\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y\,dy = \int \cos^2\bigl(w x\bigr)\,dx.
Usando \cos^2\theta = \tfrac{1+\cos(2\theta)}{2}, temos
\int y\,dy = \frac{y^2}{2} + C_1, \qquad \int \cos^2\bigl(w x\bigr)\,dx = \int \frac{1+\cos(2w x)}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2w x)}{4w} + C_2.

Passo 4

Igualando as integrais e juntando constantes C=C_2 - C_1, obtemos
\frac{y^2}{2} = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2w x)}{4w} + C \quad\Longrightarrow\quad y^2 = x + \frac{\sin(2w x)}{2w} + C',
onde C'=2C é constante arbitrária. Finalmente,
y(x) = \pm \sqrt{x + \frac{\sin(2w x)}{2w} + C'}.

Resposta

y(x) = \pm \sqrt{x + \frac{\sin(2w x)}{2w} + C},
com C constante arbitrária.

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