Identifique quais equações diferenciais ordinárias de primeira ordem dadas são lineares ou não lineares. Determine as respectivas soluções gerais, onde \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} e \boldsymbol{w} são constantes. Tente usar todos os métodos de resolução estudados, conforme cada caso.
\boldsymbol{y} \boldsymbol{d} \boldsymbol{x}+\left(\mathbf{2} \boldsymbol{x} \boldsymbol{y}-\boldsymbol{e}^{-\mathbf{2} \boldsymbol{y}}\right) \boldsymbol{d} \boldsymbol{y}=\mathbf{0}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial em forma diferencial
y\,dx + \bigl(2xy - e^{-2y}\bigr)\,dy = 0
que é de primeira ordem. Vamos verificar se ela é linear em y(x), depois testar exatidão e, se necessário, usar fator integrante.

Passo 2

Para ver linearidade, escrevemos em forma y' + P(x)\,y = Q(x). Dividindo tudo por dx e isolando y':
y + \bigl(2xy - e^{-2y}\bigr)\,y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad y' = -\frac{y}{2xy - e^{-2y}}.
Como o coeficiente de y' depende de y de modo não linear (aparece e^{-2y}), a equação não é linear.

Passo 3

Testamos se a forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 \quad\text{com}\quad M = y, \;N = 2xy - e^{-2y}
é exata. Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 2y,
e vemos que 1 \neq 2y, logo não é exata.

Passo 4

Buscamos um fator integrante \mu(y) que dependa só de y. Usamos a condição
\frac{1}{M}\Bigl(\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}\Bigr) = \frac{2y - 1}{y} = 2 - \frac1y = \frac{\mu'(y)}{\mu(y)}.
Integrando,
\ln\mu(y) = \int\Bigl(2 - \tfrac1y\Bigr)\,dy = 2y - \ln|y| \quad\Longrightarrow\quad \mu(y) = \frac{e^{2y}}{y}.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(y):
\frac{e^{2y}}{y}\,y\,dx + \frac{e^{2y}}{y}\bigl(2xy - e^{-2y}\bigr)\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad e^{2y}\,dx + \bigl(2x e^{2y} - \tfrac1y\bigr)\,dy = 0.
Agora M^* = e^{2y} e N^* = 2x e^{2y} - 1/y satisfazem \partial M^*/\partial y = 2e^{2y} = \partial N^*/\partial x, logo é exata.

Passo 6

Procuramos uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\Psi_x = M^* = e^{2y}, \quad \Psi_y = N^* = 2x e^{2y} - \tfrac1y.
Integrando \Psi_x em x:
\Psi(x,y) = x\,e^{2y} + h(y).
Derivando em y e igualando a N^*:
\Psi_y = 2x e^{2y} + h'(y) \overset!= 2x e^{2y} - \tfrac1y \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = -\frac1y \quad\Longrightarrow\quad h(y) = -\ln|y|.

Resposta

A equação não é linear. A solução geral, de forma implícita, é
x\,e^{2y} - \ln\bigl|y\bigr| = C,
com C constante de integração.

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