Identifique e esboce o gráfico das superfícies destacando os traços com os planos coordenados:
Passo 1
O enunciado dá a superfície definida pela equação
e pede dois objetivos: (1) identificar que superfície é essa; (2) esboçar o gráfico, destacando os traços (interseções) com os planos coordenados. Informações fornecidas explicitamente: a expressão analítica da superfície. Perguntas a responder: qual a natureza da superfície e quais são seus traços com os planos
,
e
(os planos coordenados), e como usá-los para esboçar a superfície.
Passo 2
Vamos olhar a forma da equação para entender a geometria antes de desenhar. A equação tem a forma
com
e
. Explico o que isso significa, devagarinho:
- As variáveis
e aparecem ao quadrado e somadas, e o lado esquerdo é a coordenada (linear). Isso indica que para cada valor fixo de positivo a equação em é uma curva fechada (uma elipse). Portanto a superfície é um “paraboloide elíptico” cujo eixo está alinhado com a direção do eixo . - Coeficientes positivos significam que o paraboloide abre no sentido positivo de
. Se algum coeficiente fosse negativo, abriria em sentido negativo. Aqui ambos são positivos, então a superfície “sai” do ponto em direção a . - O vértice (ponto mais baixo no sentido de
) ocorre quando e . Substituindo obtemos . Logo o vértice é o ponto . - Domínio em
: como para todos , temos . Não há pontos da superfície com .
Passo 3
Agora calculamos explicitamente os traços com os planos coordenados (isso é obrigatório e muito útil para o esboço).
Traço com o plano
(plano
):
Isto é uma parábola no plano
(plano
) com vértice em
, que abre na direção positiva de
. Alguns pontos fáceis para esboçar:
;
;
.
Traço com o plano
(plano
):
Isto é outra parábola, agora no plano
(plano
), com vértice em
e abrindo no sentido positivo de
. Pontos úteis:
;
;
.
Traço com o plano
(plano
):
A soma de quadrados só é zero se
e
simultaneamente. Portanto a interseção com o plano
é apenas o ponto único
— ou seja, a superfície toca o plano
somente no vértice.
Passo 4
Mini-aula sobre secções transversais (útil para esboçar): para cada valor fixo de
a equação dá
Dividindo por
obtemos
que é a equação de uma elipse com semi-eixo em
de comprimento
e semi-eixo em
de comprimento
. Isso mostra que, à medida que
cresce, as elipses crescem; para
pequeno (próximo de
) as elipses são pequenas e degeneram no ponto no caso
. Esse padrão de elipses empilhadas ao longo de
é o que caracteriza o paraboloide elíptico.
Exemplos numéricos para visualizar:
- Para
: elipse . Interseções com eixos: ; . - Para
: elipse . Interseções: ; .
Passo 5
Parametrização útil (opcional para esboços e para entender a superfície): podemos usar
e
como parâmetros e escrever
com
. Isso mostra diretamente que para qualquer par
obtemos um ponto na superfície e que os parâmetros
variam livremente; a coordenada
é determinada pelas coordenadas
e
.
Passo 6
Como esboçar passo a passo (fica prático para prova — passos que você aplica com lápis e borracha):
- Desenhe um sistema de eixos 3D: escolha
-axis apontando para a direita, -axis para cima e -axis saindo/entrando levemente para a esquerda (convenção comum). Marque a origem. - Desenhe os dois traços parabólicos principais:
- No plano
(chão), desenhe a parábola abrindo para a direita. Use pontos projetados no espaço. - No plano
(plano vertical que contém e ), desenhe a parábola abrindo para a direita. Use pontos .
- No plano
- Para dar a forma “3D”, desenhe algumas elipses de seção em planos paralelos ao plano
fixando alguns valores de . Por exemplo, para desenhe a elipse conectando suavemente as parábolas vistas nos passos anteriores; para desenhe outra elipse maior. - Una as elipses de modo suave, formando uma superfície que parte do vértice
e se alarga para a direita. As curvas horizontais (elipses) ficam ortogonais às parábolas dos planos coordenados. - Indique setas no sentido de
positivo para mostrar que o paraboloide abre para a direita.
Passo 7
Resumo geométrico final que ajuda a memorizar e a responder em prova:
- A superfície é um paraboloide elíptico com vértice em
, eixo paralelo ao eixo , e que abre no sentido de . - Traços com planos coordenados:
-
(parábola no plano ); -
(parábola no plano ); -
apenas o ponto .
-
Resposta
Paraboloide elíptico com vértice em
que abre para
.
Traços: (parábola no plano
);
(parábola no plano
);
apenas o ponto
.
Traços: