Identifique e esboce o gráfico das superfícies destacando os traços com os planos coordenados:
x=2 y^{2}+z^{2}

Passo 1

O enunciado dá a superfície definida pela equação
x = 2y^{2} + z^{2}
e pede dois objetivos: (1) identificar que superfície é essa; (2) esboçar o gráfico, destacando os traços (interseções) com os planos coordenados. Informações fornecidas explicitamente: a expressão analítica da superfície. Perguntas a responder: qual a natureza da superfície e quais são seus traços com os planos x=0, y=0 e z=0 (os planos coordenados), e como usá-los para esboçar a superfície.

Passo 2

Vamos olhar a forma da equação para entender a geometria antes de desenhar. A equação tem a forma
x = A y^{2} + B z^{2}
com A=2>0 e B=1>0. Explico o que isso significa, devagarinho:
  • As variáveis y e z aparecem ao quadrado e somadas, e o lado esquerdo é a coordenada x (linear). Isso indica que para cada valor fixo de x positivo a equação em y,z é uma curva fechada (uma elipse). Portanto a superfície é um “paraboloide elíptico” cujo eixo está alinhado com a direção do eixo x.
  • Coeficientes positivos significam que o paraboloide abre no sentido positivo de x. Se algum coeficiente fosse negativo, abriria em sentido negativo. Aqui ambos são positivos, então a superfície “sai” do ponto x=0 em direção a x>0.
  • O vértice (ponto mais baixo no sentido de x) ocorre quando y=0 e z=0. Substituindo obtemos x=0. Logo o vértice é o ponto (0,0,0).
  • Domínio em x: como 2y^{2}+z^{2}\ge 0 para todos y,z, temos x \ge 0. Não há pontos da superfície com x<0.

Passo 3

Agora calculamos explicitamente os traços com os planos coordenados (isso é obrigatório e muito útil para o esboço).
Traço com o plano z=0 (plano xy):
\text{Tomando } z=0 \Rightarrow x = 2y^{2}.
Isto é uma parábola no plano z=0 (plano xy) com vértice em (0,0,0), que abre na direção positiva de x. Alguns pontos fáceis para esboçar: y=0 \Rightarrow x=0; y=\pm 1 \Rightarrow x=2; y=\pm \tfrac{1}{2} \Rightarrow x=\tfrac{1}{2}.
Traço com o plano y=0 (plano xz):
\text{Tomando } y=0 \Rightarrow x = z^{2}.
Isto é outra parábola, agora no plano y=0 (plano xz), com vértice em (0,0,0) e abrindo no sentido positivo de x. Pontos úteis: z=0 \Rightarrow x=0; z=\pm 1 \Rightarrow x=1; z=\pm 2 \Rightarrow x=4.
Traço com o plano x=0 (plano yz):
\text{Tomando } x=0 \Rightarrow 0 = 2y^{2} + z^{2}.
A soma de quadrados só é zero se y=0 e z=0 simultaneamente. Portanto a interseção com o plano x=0 é apenas o ponto único (0,0,0) — ou seja, a superfície toca o plano x=0 somente no vértice.

Passo 4

Mini-aula sobre secções transversais (útil para esboçar): para cada valor fixo de x>0 a equação dá
2y^{2} + z^{2} = x.
Dividindo por x obtemos
\frac{y^{2}}{x/2} + \frac{z^{2}}{x} = 1,
que é a equação de uma elipse com semi-eixo em y de comprimento \sqrt{x/2} e semi-eixo em z de comprimento \sqrt{x}. Isso mostra que, à medida que x cresce, as elipses crescem; para x pequeno (próximo de 0) as elipses são pequenas e degeneram no ponto no caso x=0. Esse padrão de elipses empilhadas ao longo de x é o que caracteriza o paraboloide elíptico.
Exemplos numéricos para visualizar:
  • Para x=1: elipse 2y^{2}+z^{2}=1. Interseções com eixos: z=0 \Rightarrow y=\pm \tfrac{1}{\sqrt{2}}; y=0 \Rightarrow z=\pm 1.
  • Para x=2: elipse 2y^{2}+z^{2}=2. Interseções: z=0 \Rightarrow y=\pm 1; y=0 \Rightarrow z=\pm \sqrt{2}.

Passo 5

Parametrização útil (opcional para esboços e para entender a superfície): podemos usar u=y e v=z como parâmetros e escrever
\mathbf{r}(u,v) = \bigl(2u^{2}+v^{2},\; u,\; v\bigr),
com u,v\in\mathbb{R}. Isso mostra diretamente que para qualquer par (u,v) obtemos um ponto na superfície e que os parâmetros u,v variam livremente; a coordenada x é determinada pelas coordenadas y e z.

Passo 6

Como esboçar passo a passo (fica prático para prova — passos que você aplica com lápis e borracha):
  1. Desenhe um sistema de eixos 3D: escolha x-axis apontando para a direita, z-axis para cima e y-axis saindo/entrando levemente para a esquerda (convenção comum). Marque a origem.
  2. Desenhe os dois traços parabólicos principais:
    • No plano z=0 (chão), desenhe a parábola x=2y^{2} abrindo para a direita. Use pontos (x,y)=(0,0),(2,1),(2,-1) projetados no espaço.
    • No plano y=0 (plano vertical que contém x e z), desenhe a parábola x=z^{2} abrindo para a direita. Use pontos (x,z)=(0,0),(1,1),(1,-1),(4,2),(4,-2).
  3. Para dar a forma “3D”, desenhe algumas elipses de seção em planos paralelos ao plano yz fixando alguns valores de x>0. Por exemplo, para x=1 desenhe a elipse 2y^{2}+z^{2}=1 conectando suavemente as parábolas vistas nos passos anteriores; para x=2 desenhe outra elipse maior.
  4. Una as elipses de modo suave, formando uma superfície que parte do vértice (0,0,0) e se alarga para a direita. As curvas horizontais (elipses) ficam ortogonais às parábolas dos planos coordenados.
  5. Indique setas no sentido de x positivo para mostrar que o paraboloide abre para a direita.

Passo 7

Resumo geométrico final que ajuda a memorizar e a responder em prova:
  • A superfície é um paraboloide elíptico com vértice em (0,0,0), eixo paralelo ao eixo x, e que abre no sentido de x>0.
  • Traços com planos coordenados:
    • z=0 \Rightarrow x = 2y^{2} (parábola no plano xy);
    • y=0 \Rightarrow x = z^{2} (parábola no plano xz);
    • x=0 \Rightarrow apenas o ponto (0,0,0).

Resposta

Paraboloide elíptico com vértice em (0,0,0) que abre para x>0.
Traços: z=0 \Rightarrow x=2y^{2} (parábola no plano xy);
y=0 \Rightarrow x=z^{2} (parábola no plano xz);
x=0 \Rightarrow apenas o ponto (0,0,0).

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