Calcule as integrais:
\int_{2}^{0}(1+2 y)^{2} d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{2}^{0}(1+2 y)^{2}\,dy.
Informações dadas:
  • Integrando: (1+2 y)^{2}.
  • Limites de integração: limite inferior 2 e limite superior 0 (note que os limites estão na ordem decrescente).

Passo 2

Escolha do método (sem resolver ainda): como o integrando é um polinómio em y depois de expandir (1+2y)^{2}, o caminho mais direto é:
  • usar a propriedade da linearidade da integral e expandir o quadrado para obter termos simples em potências de y;
  • aplicar a regra do poder (power rule) para antiderivadas: para todo n\neq -1,
\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C.
Também é importante lembrar a propriedade dos limites da integral definida: se os limites estão invertidos,
\int_{a}^{b} f(y)\,dy = -\int_{b}^{a} f(y)\,dy.
Vou aplicar essas ideias passo a passo.

Passo 3

Expandir o integrando para ficar com soma de potências de y. Usando a identidade (A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2} com A=1 e B=2y,
(1+2y)^{2}=1^{2}+2\cdot1\cdot(2y)+(2y)^{2}=1+4y+4y^{2}.

Passo 4

Escrever a integral usando a expansão e a linearidade (a integral da soma é a soma das integrais, e constantes fatoram):
\int_{2}^{0}(1+2 y)^{2}\,dy=\int_{2}^{0}\bigl(1+4y+4y^{2}\bigr)\,dy =\int_{2}^{0}1\,dy+4\int_{2}^{0}y\,dy+4\int_{2}^{0}y^{2}\,dy.

Passo 5

Calcular as antiderivadas termo a termo usando a regra do poder:
  • Para \int 1\,dy, a antiderivada é y porque \dfrac{d}{dy}(y)=1.
  • Para \int y\,dy, aplicar \int y^{1}\,dy=\dfrac{y^{2}}{2}.
  • Para \int y^{2}\,dy, aplicar \int y^{2}\,dy=\dfrac{y^{3}}{3}.
Portanto uma primitiva comum F(y) do integrando (1+4y+4y^{2}) é
F(y)=y+4\cdot\frac{y^{2}}{2}+4\cdot\frac{y^{3}}{3}=y+2y^{2}+\frac{4}{3}y^{3}.

Passo 6

Avaliar a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo: \int_{2}^{0}f(y)\,dy=F(0)-F(2), onde F é a primitiva acima.
Calcular F(0):
F(0)=0+2\cdot0^{2}+\frac{4}{3}\cdot0^{3}=0.
Calcular F(2):
F(2)=2+2\cdot2^{2}+\frac{4}{3}\cdot2^{3}.
Calcule passo a passo:
2^{2}=4\quad\Rightarrow\quad 2\cdot2^{2}=2\cdot4=8,
2^{3}=8\quad\Rightarrow\quad \frac{4}{3}\cdot2^{3}=\frac{4}{3}\cdot8=\frac{32}{3}.
Somando:
F(2)=2+8+\frac{32}{3}=10+\frac{32}{3}=\frac{30}{3}+\frac{32}{3}=\frac{62}{3}.

Passo 7

Agora a integral é
\int_{2}^{0}(1+2 y)^{2}\,dy=F(0)-F(2)=0-\frac{62}{3}=-\frac{62}{3}.
Como verificação alternativa, podia-se também usar a propriedade dos limites invertidos:
\int_{2}^{0}(1+2 y)^{2}\,dy=-\int_{0}^{2}(1+2 y)^{2}\,dy,
e calcular \int_{0}^{2}(1+2 y)^{2}\,dy=\frac{62}{3}, dando o mesmo resultado com sinal trocado.

Resposta

-\dfrac{62}{3}

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