Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- Integrando:
. - Limites de integração: limite inferior
e limite superior (note que os limites estão na ordem decrescente).
Passo 2
Escolha do método (sem resolver ainda): como o integrando é um polinómio em
depois de expandir
, o caminho mais direto é:
- usar a propriedade da linearidade da integral e expandir o quadrado para obter termos simples em potências de
; - aplicar a regra do poder (power rule) para antiderivadas: para todo
,
Também é importante lembrar a propriedade dos limites da integral definida: se os limites estão invertidos,
Vou aplicar essas ideias passo a passo.
Passo 3
Expandir o integrando para ficar com soma de potências de
. Usando a identidade
com
e
,
Passo 4
Escrever a integral usando a expansão e a linearidade (a integral da soma é a soma das integrais, e constantes fatoram):
Passo 5
Calcular as antiderivadas termo a termo usando a regra do poder:
- Para
, a antiderivada é porque . - Para
, aplicar . - Para
, aplicar .
Portanto uma primitiva comum
do integrando
é
Passo 6
Avaliar a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
, onde
é a primitiva acima.
Calcular
:
Calcular
:
Calcule passo a passo:
Somando:
Passo 7
Agora a integral é
Como verificação alternativa, podia-se também usar a propriedade dos limites invertidos:
e calcular
, dando o mesmo resultado com sinal trocado.