Identifique e esboce as seguintes superfícies cilíndricas no
.
Passo 1
O enunciado pede que se identifique e esboce a superfície dada pela equação
no espaço
.
Informações fornecidas:
- A equação da superfície é
. - Não há nenhum termo envolvendo
na equação (ou seja, a coordenada aparece ausente). - O pedido é: identificar o tipo de superfície (que cilindro é esse, direção do eixo, seções transversais) e explicar como esboçá‑la.
Passo 2
Reescrevendo a equação numa forma padrão para reconhecer a curva no plano
. Dividindo ambos os lados por
obtenho:
Essa é a equação de uma elipse no plano
(centro na origem).
Aqui explico devagar: para reconhecer uma elipse escrita como
, os números
e
são os semi‑eixos da elipse ao longo das direções
e
. Comparando,
Passo 3
Interpretando a ausência de
: a equação não depende de
, portanto para cada valor de
a seção da superfície por um plano
constante é a mesma elipse. Isso define uma superfície cilíndrica cujas geratrizes são paralelas ao eixo
.
Explicação didática: uma “superfície cilíndrica” no sentido geométrico é o conjunto obtido ao transportar uma curva plana (a geratriz) ao longo de uma reta fixa (a diretriz); aqui a curva plana é a elipse no plano
e a diretriz é a reta paralela ao eixo
. Como
não aparece, a superfície é independente de
e se estende infinitamente nas duas direções do eixo
.
Passo 4
Escrever uma representação paramétrica útil (muito prática para esboçar):
com
e
.
Comentário: para um
fixo variando
você anda ao longo de uma geratriz paralela ao eixo
. Para um
fixo e
variando obtém a elipse no plano
.
Passo 5
Características geométricas importantes (úteis na hora do esboço):
- Centro da elipse (para cada
): . - Semi‑eixo na direção
: (logo interceptos em quando ). - Semi‑eixo na direção
: (logo interceptos em quando ). - A superfície é simétrica em relação ao plano
, ao plano e ao eixo .
Passo 6
Interseções com planos coordenados (para ajudar no desenho):
- Plano
: a interseção é a elipse . - Plano
: a interseção satisfaz , ou seja para todo . Isso corresponde a duas retas paralelas ao eixo localizadas em e . - Plano
: a interseção satisfaz para todo . Duas retas paralelas ao eixo em e .
Passo 7
Como esboçar passo a passo (sem régua complicada — dá para fazer à mão na prova):
- Desenhe os três eixos coordenados
(horizontal), (vertical na página, ou saia do plano) e (profundidade). Combine conforme o costume do seu esboço (ex.: para a direita, para cima na folha quando representar o plano , e saindo/entrando). - No plano
(plano frontal do esboço) desenhe uma elipse centrada na origem com semi‑eixo horizontal e semi‑eixo vertical . Marque os pontos e . - Agora imagine “extrudir” essa elipse ao longo do eixo
: traçe linhas leves paralelas ao eixo nos pontos do contorno para indicar que a elipse se repete para todo . - Marque as retas de interseção com
e (vê‑se como linhas verticais paralelas ao eixo nos locais indicados). Use traço contínuo para partes visíveis e tracejado para partes ocultas se quiser dar volume. - Opcional: desenhe outra elipse em um valor
(por exemplo ) idêntica à primeira para enfatizar a cilindricidade.
Dica prática: foque primeiro na elipse (seção transversal) e depois projete‑a paralelamente ao eixo
.
Passo 8
Resumo das propriedades importantes (para decorar e aplicar rápido na prova):
- A superfície é um cilindro elíptico infinito.
- Eixo do cilindro: paralelo ao eixo
(pois é livre). - Seção por
constante: (elipse com semi‑eixos em e em ). - Representação paramétrica:
.
Resposta
Superfície: cilindro elíptico de eixo paralelo ao eixo
.
Seção por constante:
(elipse com semi‑eixos
em
e
em
).
Representação paramétrica: .
Seção por
Representação paramétrica: