Identifique e esboce as seguintes superfícies cilíndricas no \mathbb{R}^{3}.
4 x^{2}+z^{2}=16

Passo 1

O enunciado pede que se identifique e esboce a superfície dada pela equação 4x^{2}+z^{2}=16 no espaço \mathbb{R}^{3}.
Informações fornecidas:
  • A equação da superfície é 4x^{2}+z^{2}=16.
  • Não há nenhum termo envolvendo y na equação (ou seja, a coordenada y aparece ausente).
  • O pedido é: identificar o tipo de superfície (que cilindro é esse, direção do eixo, seções transversais) e explicar como esboçá‑la.

Passo 2

Reescrevendo a equação numa forma padrão para reconhecer a curva no plano xz. Dividindo ambos os lados por 16 obtenho:
\frac{x^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{16}=1.
Essa é a equação de uma elipse no plano xz (centro na origem).
Aqui explico devagar: para reconhecer uma elipse escrita como \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{z^{2}}{b^{2}}=1, os números a e b são os semi‑eixos da elipse ao longo das direções x e z. Comparando,
a^{2}=4\quad\Rightarrow\quad a=2, \qquad b^{2}=16\quad\Rightarrow\quad b=4.

Passo 3

Interpretando a ausência de y: a equação não depende de y, portanto para cada valor de y\in\mathbb{R} a seção da superfície por um plano y= constante é a mesma elipse. Isso define uma superfície cilíndrica cujas geratrizes são paralelas ao eixo y.
Explicação didática: uma “superfície cilíndrica” no sentido geométrico é o conjunto obtido ao transportar uma curva plana (a geratriz) ao longo de uma reta fixa (a diretriz); aqui a curva plana é a elipse no plano xz e a diretriz é a reta paralela ao eixo y. Como y não aparece, a superfície é independente de y e se estende infinitamente nas duas direções do eixo y.

Passo 4

Escrever uma representação paramétrica útil (muito prática para esboçar):
x=2\cos t,\qquad z=4\sin t,\qquad y=s,
com t\in[0,2\pi) e s\in\mathbb{R}.
Comentário: para um t fixo variando s você anda ao longo de uma geratriz paralela ao eixo y. Para um s fixo e t variando obtém a elipse no plano y=s.

Passo 5

Características geométricas importantes (úteis na hora do esboço):
  • Centro da elipse (para cada y): (0, y, 0).
  • Semi‑eixo na direção x: a=2 (logo interceptos em x=\pm2 quando z=0).
  • Semi‑eixo na direção z: b=4 (logo interceptos em z=\pm4 quando x=0).
  • A superfície é simétrica em relação ao plano x=0, ao plano z=0 e ao eixo y.

Passo 6

Interseções com planos coordenados (para ajudar no desenho):
  • Plano y=0: a interseção é a elipse \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{z^{2}}{16}=1.
  • Plano x=0: a interseção satisfaz z^{2}=16, ou seja z=\pm4 para todo y. Isso corresponde a duas retas paralelas ao eixo y localizadas em (0,y,4) e (0,y,-4).
  • Plano z=0: a interseção satisfaz 4x^{2}=16\Rightarrow x=\pm2 para todo y. Duas retas paralelas ao eixo y em (2,y,0) e (-2,y,0).

Passo 7

Como esboçar passo a passo (sem régua complicada — dá para fazer à mão na prova):
  1. Desenhe os três eixos coordenados x (horizontal), y (vertical na página, ou saia do plano) e z (profundidade). Combine conforme o costume do seu esboço (ex.: x para a direita, z para cima na folha quando representar o plano xz, e y saindo/entrando).
  2. No plano y=0 (plano frontal do esboço) desenhe uma elipse centrada na origem com semi‑eixo horizontal 2 e semi‑eixo vertical 4. Marque os pontos (\pm2,0,0) e (0,0,\pm4).
  3. Agora imagine “extrudir” essa elipse ao longo do eixo y: traçe linhas leves paralelas ao eixo y nos pontos do contorno para indicar que a elipse se repete para todo y.
  4. Marque as retas de interseção com x=0 e z=0 (vê‑se como linhas verticais paralelas ao eixo y nos locais indicados). Use traço contínuo para partes visíveis e tracejado para partes ocultas se quiser dar volume.
  5. Opcional: desenhe outra elipse em um valor y\neq0 (por exemplo y=1) idêntica à primeira para enfatizar a cilindricidade.
Dica prática: foque primeiro na elipse (seção transversal) e depois projete‑a paralelamente ao eixo y.

Passo 8

Resumo das propriedades importantes (para decorar e aplicar rápido na prova):
  • A superfície é um cilindro elíptico infinito.
  • Eixo do cilindro: paralelo ao eixo y (pois y é livre).
  • Seção por y= constante: \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{z^{2}}{16}=1 (elipse com semi‑eixos 2 em x e 4 em z).
  • Representação paramétrica: x=2\cos t,\\ z=4\sin t,\\ y\in\mathbb{R}.

Resposta

Superfície: cilindro elíptico de eixo paralelo ao eixo y.
Seção por y= constante: \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{z^{2}}{16}=1 (elipse com semi‑eixos a=2 em x e b=4 em z).
Representação paramétrica: x=2\cos t,\\ z=4\sin t,\\ y\in\mathbb{R}.

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