Identifique e esboce as regiões do plano
definidas pelos seguintes sistemas de inequações. Determine, se existirem, os vértices da fronteira de cada região:
e
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- As inequações que definem a região são:
- O que se pede:
- Identificar (descrever) e esboçar a(s) região(ões) do plano
que satisfazem simultaneamente essas três inequações. - Determinar, se existirem, os vértices da fronteira de cada região.
- Identificar (descrever) e esboçar a(s) região(ões) do plano
Passo 2
Escrevo as retas que são as fronteiras (as igualdades correspondentes) em forma conveniente
para facilitar o desenho:
- Da inequação
vem a reta - Da inequação
vem a reta - Da inequação
vem a reta horizontal
Estas são as três linhas que delimitam meias-planos; a região procurada é a interseção dos meias-planos indicados por cada inequação.
Passo 3
Determino para cada reta qual é o lado que devemos manter (qual meio-plano). Para isso reescrevo cada inequação isolando
:
-
De
: Então o meio-plano permitido é o conjunto de pontos commaior ou igual a (acima de ). -
De
: Então o meio-plano permitido émaior ou igual a (acima de ). -
De
: já está isolado, então o meio-plano permitido é menor ou igual a (abaixo de ).
Uma checagem rápida com um ponto teste:
dá
todas verdadeiras; logo
está na região (útil para confirmar orientação das meias-planos).
Resumo: a região é a interseção
Passo 4
Calculo as interseções pares das retas [L_1,L_2,L_3) — essas interseções são candidatos a vértices da região.
- Interseção
: resolver
Igualando as duas expressões para
.
- Interseção
: resolver
Da segunda,
.
- Interseção
: resolver
Da segunda,
.]
Passo 5
Verifico quais dessas interseções realmente pertencem à região (ou seja, satisfazem todas as três inequações). Como cada interseção é ponto sobre duas retas, basta checar a terceira inequação:
-
Para
(interseção de e ): checar : Então esse ponto é viável. -
Para
(interseção de e ): checar : Então esse ponto é viável. -
Para
(interseção de e ): checar : Então esse ponto é viável.
Portanto os três pontos são vértices da região (todos pertencem à interseção das três meias-planos).
Passo 6
Descrevo a geometria da região e como esboçá-la:
- A condição
e significa que deve estar acima de ambas as retas e . A condição limita por cima. - As retas
e se cruzam em ; para a esquerda desse ponto quem domina (é maior) é , e para a direita domina . Assim o “piso” da região é formado por dois segmentos das retas (da esquerda) e (pela direita) que se unem em . - O teto é a reta horizontal
; as interseções do teto com e são e , respectivamente. - Conclusão geométrica: a interseção das três meias-planos é o triângulo convexo fechado cujos vértices são
Como esboçar (passo-a-passo para desenhar sem régua exata): traçar
(reta horizontal), traçar
(reta de inclinação
, corte em
-intercepto
), traçar
(reta de inclinação
, corte em
-intercepto
); marcar os três pontos de interseção calculados e sombrear a região entre
e acima de ambas as outras retas — aparecerá claramente o triângulo com os vértices dados.
Resposta
A região é o triângulo convexo fechado com vértices