Identifique e esboce as regiões do plano \mathbb{R}^{2} definidas pelos seguintes sistemas de inequações. Determine, se existirem, os vértices da fronteira de cada região:
x-y \leq 2, x+y \geq-1 e y \leq 3

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • As inequações que definem a região são: x-y \leq 2,\qquad x+y \geq -1,\qquad y \leq 3.
  • O que se pede:
    • Identificar (descrever) e esboçar a(s) região(ões) do plano \mathbb{R}^2 que satisfazem simultaneamente essas três inequações.
    • Determinar, se existirem, os vértices da fronteira de cada região.

Passo 2

Escrevo as retas que são as fronteiras (as igualdades correspondentes) em forma conveniente y= para facilitar o desenho:
  • Da inequação x-y \leq 2 vem a reta L_1:\\ x-y=2 \quad\Longleftrightarrow\quad y=x-2.
  • Da inequação x+y \geq -1 vem a reta L_2:\\ x+y=-1 \quad\Longleftrightarrow\quad y=-1-x.
  • Da inequação y \leq 3 vem a reta horizontal L_3:\\ y=3.
Estas são as três linhas que delimitam meias-planos; a região procurada é a interseção dos meias-planos indicados por cada inequação.

Passo 3

Determino para cada reta qual é o lado que devemos manter (qual meio-plano). Para isso reescrevo cada inequação isolando y:
  • De x-y \leq 2:
    x-y\leq 2 \\ \Longrightarrow\\\ -y\leq 2-x \\ \Longrightarrow\\ y\geq x-2.
    Então o meio-plano permitido é o conjunto de pontos com y maior ou igual a x-2 (acima de L_1).
  • De x+y \geq -1:
    x+y\geq -1 \\ \Longrightarrow\\ y\geq -1-x.
    Então o meio-plano permitido é y maior ou igual a -1-x (acima de L_2).
  • De y\leq 3: já está isolado, então o meio-plano permitido é y menor ou igual a 3 (abaixo de L_3).
Uma checagem rápida com um ponto teste: (0,0)
0-0\leq 2,\quad 0+0\geq -1,\quad 0\leq 3,
todas verdadeiras; logo (0,0) está na região (útil para confirmar orientação das meias-planos).
Resumo: a região é a interseção
\{(x,y)\mid y\geq x-2\}\\ \cap\\ \{(x,y)\mid y\geq -1-x\}\\ \cap\\ \{(x,y)\mid y\leq 3\}.

Passo 4

Calculo as interseções pares das retas [L_1,L_2,L_3) — essas interseções são candidatos a vértices da região.
  1. Interseção L_1\cap L_2: resolver
\begin{cases} y=x-2,\\[2pt] y=-1-x. \end{cases}
Igualando as duas expressões para y\]: \[x-2=-1-x \\ \Longrightarrow\\\ 2x=1 \\ \Longrightarrow\\ x=\tfrac{1}{2}.\] Então \[y=x-2=\tfrac{1}{2}-2=-\tfrac{3}{2}.\] Logo \[L_1\cap L_2=\left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\right).
  1. Interseção L_1\cap L_3: resolver
\begin{cases} y=x-2,\\[2pt] y=3. \end{cases}
Da segunda, y=3\]. Substituindo na primeira: \[3=x-2 \\ \Longrightarrow\\ x=5.\] Logo \[L_1\cap L_3=(5,3).
  1. Interseção L_2\cap L_3: resolver
\begin{cases} y=-1-x,\\[2pt] y=3. \end{cases}
Da segunda, y=3\]. Substituindo: \[3=-1-x \\ \Longrightarrow\\ x=-4.\] Logo \(L_2\cap L_3=(-4,3).]

Passo 5

Verifico quais dessas interseções realmente pertencem à região (ou seja, satisfazem todas as três inequações). Como cada interseção é ponto sobre duas retas, basta checar a terceira inequação:
  • Para \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\right) (interseção de L_1 e L_2): checar y\leq 3:
    -\tfrac{3}{2}\leq 3\quad\text{(verdade)}.
    Então esse ponto é viável.
  • Para (5,3) (interseção de L_1 e L_3): checar x+y\geq -1:
    5+3=8\geq -1\quad\text{(verdade)}.
    Então esse ponto é viável.
  • Para (-4,3) (interseção de L_2 e L_3): checar x-y\leq 2:
    -4-3=-7\leq 2\quad\text{(verdade)}.
    Então esse ponto é viável.
Portanto os três pontos são vértices da região (todos pertencem à interseção das três meias-planos).

Passo 6

Descrevo a geometria da região e como esboçá-la:
  • A condição y\geq x-2 e y\geq -1-x significa que y deve estar acima de ambas as retas L_1 e L_2. A condição y\leq 3 limita y por cima.
  • As retas L_1 e L_2 se cruzam em \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\right); para a esquerda desse ponto quem domina (é maior) é y=-1-x, e para a direita domina y=x-2. Assim o “piso” da região é formado por dois segmentos das retas L_2 (da esquerda) e L_1 (pela direita) que se unem em \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\right).
  • O teto é a reta horizontal y=3; as interseções do teto com L_2 e L_1 são (-4,3) e (5,3), respectivamente.
  • Conclusão geométrica: a interseção das três meias-planos é o triângulo convexo fechado cujos vértices são (-4,3),\quad (5,3),\quad \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\right).
Como esboçar (passo-a-passo para desenhar sem régua exata): traçar L_3:y=3 (reta horizontal), traçar L_1:y=x-2 (reta de inclinação 1, corte em y-intercepto -2), traçar L_2:y=-1-x (reta de inclinação -1, corte em y-intercepto -1); marcar os três pontos de interseção calculados e sombrear a região entre y\leq 3 e acima de ambas as outras retas — aparecerá claramente o triângulo com os vértices dados.

Resposta

A região é o triângulo convexo fechado com vértices
(-4,3),\quad (5,3),\quad \left(\tfrac{1}{2},-\tfrac{3}{2}\right).

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