Um canal retangular com 12 m de largura transporta 150 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}, ao final do canal existe uma estrutura de concreto que provoca um ressalto hidráulico e eleva o nível de água para 3 m . Calcule a profundidade conjugada y1 e a energia dissipada pelo ressalto

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (resumo claro das informações):
  • Largura do canal retangular: b=12\\ \mathrm{m}.
  • Vazão volumétrica: Q=150\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Ao final do canal ocorre um ressalto hidráulico que eleva o nível de jusante para y_2=3\\ \mathrm{m}.
    As perguntas são:
  1. Calcular a profundidade conjugada a montante do ressalto, isto é y_1.
  2. Calcular a energia dissipada pelo ressalto (o decréscimo de energia específica entre montante e jusante).

Passo 2

Primeiro calcular a vazão por unidade de largura (vazão específica) porque para canais retangulares as fórmulas usam q.
q=\frac{Q}{b}.
Substituindo os dados:
q=\frac{150}{12}=12{,}5\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 3

Explicar a relação entre as profundidades conjugadas (teoria necessária, bem mastigada).
  • Para um ressalto em canal retangular, as profundidades conjugadas y_1 e y_2 (antes e depois do ressalto) satisfazem a conservação do momento específico (momento por unidade de largura), chamado também de força específica M.
  • A expressão do momento específico por unidade de largura para seção retangular é
M(y)=\frac{q^2}{g\,y}+\frac{1}{2}y^2,
onde q é a vazão por largura, g é a gravidade e y é a profundidade.
  • Conjugadas significam M(y_1)=M(y_2), portanto
\frac{q^2}{g\,y_1}+\frac{1}{2}y_1^2=\frac{q^2}{g\,y_2}+\frac{1}{2}y_2^2.
Essa equação é a que vamos usar para encontrar y_1 conhecendo y_2 e q.

Passo 4

Colocar a equação em forma útil para resolver numericamente.
A partir de
\frac{q^2}{g}\left(\frac{1}{y_1}-\frac{1}{y_2}\right)=\frac{1}{2}\left(y_2^2-y_1^2\right),
multiplicando por 2 e rearranjando obtemos (definindo A=\dfrac{2q^2}{g}):
A\left(\frac{1}{y_1}-\frac{1}{y_2}\right)=y_2^2-y_1^2.
Multiplicando ambos os lados por y_1 e organizando,
y_1^3-\Bigl(y_2^2+\frac{A}{y_2}\Bigr)\,y_1 + A = 0.
No nosso caso y_2=3\\ \mathrm{m}, q=12{,}5\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} e g=9{,}81\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2. Calculamos A:
A=\frac{2q^2}{g}=\frac{2\cdot(12{,}5)^2}{9{,}81}=\frac{312{,}5}{9{,}81}\approx 31{,}85525.
Portanto a equação cúbica fica
y_1^3 - \Bigl(9+\frac{A}{3}\Bigr) y_1 + A = 0,
ou numericamente
y_1^3 - 19{,}6184\,y_1 + 31{,}8553 = 0.

Passo 5

Resolver numericamente a equação cúbica (procedimento e iterações mostradas).
  • Como y_1 deve ser positiva e, no ressalto, y_1<y_2 (montante supercrítico), procuramos uma raiz 0<y_1<3.
  • Fazendo avaliações sucessivas por tentativa/refinamento:
    • Para y_1=2{,}00: f(2{,}00)=2^3-19{,}6184\cdot2+31{,}8553\approx 0{,}612 (positivo).
    • Para y_1=2{,}08: f(2{,}08)\approx 0{,}048 (ainda positivo).
    • Para y_1=2{,}09: f(2{,}09)\approx -0{,}011 (passou para negativo).
    • Fazendo interpolação linear entre 2{,}08 e 2{,}09 obtemos raiz aproximada y_1\approx 2{,}088\\ \mathrm{m}.
  • Portanto a profundidade conjugada a montante é aproximadamente
y_1\approx 2{,}09\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Verificação rápida pelo número de Froude (para conferir consistência: montante supercrítico).
  • Velocidade média à montante:
V_1=\frac{q}{y_1}=\frac{12{,}5}{2{,}088}\approx 5{,}99\\ \mathrm{m/s}.
  • Número de Froude à montante:
Fr_1=\frac{V_1}{\sqrt{g\,y_1}}\approx\frac{5{,}99}{\sqrt{9{,}81\cdot2{,}088}}\approx 1{,}33>1,
logo o trecho montante é realmente supercrítico, consistente com a existência do ressalto que leva a y_2=3\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular a energia dissipada pelo ressalto (explicar o que é e duas formas de calcular).
  • A energia específica (por unidade de peso) em uma seção é
E=y+\frac{V^2}{2g}.
A energia dissipada pelo ressalto é \Delta E=E_1-E_2.
  • Há uma fórmula conveniente (obtida a partir da igualdade de momento e manipulações algébricas) para canais retangulares:
\Delta E=\frac{(y_2-y_1)^3}{4\,y_1\,y_2}.
Vou usar essa fórmula (é equivalente a calcular E_1-E_2 diretamente).

Passo 8

Substituir os valores para obter o valor numérico de \Delta E.
  • Diferença de profundidades:
y_2-y_1=3{,}00-2{,}088\approx 0{,}912\\ \mathrm{m}.
  • Aplicando a fórmula:
\Delta E=\frac{(0{,}912)^3}{4\cdot 2{,}088\cdot 3{,}00}\approx\frac{0{,}758}{25{,}056}\approx 0{,}0303\\ \mathrm{m}.
(Se preferir calcular por E_1-E_2 diretamente, dá um valor muito próximo: cerca de 0{,}030\\ \mathrm{m}.)
  • Observação de interpretação: esse valor é a perda de energia específica expressa em metros de coluna d’água (head loss). Se for preciso a potência dissipada (energia por segundo), multiplica-se \Delta E por \gamma Q (ou por \rho g Q em unidades SI): P=\rho g Q \Delta E.

Resposta

y_1 \approx 2{,}09\\ \mathrm{m}
\Delta E \approx 0{,}030\\ \mathrm{m}

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