Seja
inteiro. Use congruências para mostrar que se
é um quadrado então
é da forma
ou
.
14. Prove que a equação
não tem solução em
14. Prove que a equação
Passo 1
O enunciado contém duas tarefas claras:
- (i) Mostrar que, para todo inteiro
, se é um quadrado perfeito então é da forma ou para algum . - (ii) Provar que a equação
não tem solução em (isto é, não existem inteiros que satisfaçam a igualdade).
Informações relevantes dadas:
- Em (i) sabemos apenas que
e que existe tal que . - Em (ii)
e a igualdade deve ser verificada (ou mostrada impossível).
Passo 2
Vou dar uma breve aula sobre congruências (bem prática): dizer que duas inteiros
e
são congruentes módulo
significa que
divide a diferença
. Escrevemos isso como
Isto forma classes de equivalência chamadas resíduos módulo
. Para analisar quadrados módulo
(ou seja, os possíveis valores de
), basta verificar os representantes
— porque qualquer inteiro é congruente a um desses. Uma vez conhecido o conjunto de quadrados possíveis modulo
, se uma igualdade inteira implica um resíduo que não pertence a esse conjunto, então a igualdade é impossível (contradição modular).
Passo 3
Aplicando isso ao item (i): trabalhar módulo
. Vou calcular os quadrados dos resíduos
módulo
:
Portanto, os possíveis resíduos quadráticos módulo
são exatamente
. Observe que
. Assim todo quadrado inteiro é congruente a
ou a
módulo
; isto é, se
então
o que se reescreve como: existe
tal que
ou
.
(Dica prática: para mostrar que “um inteiro só pode ser dessas formas” é suficiente listar os resíduos quadráticos e identificar quais são.)
Passo 4
Agora o item (ii): usar congruências para mostrar impossibilidade da equação
.
Escolho reduzir a igualdade módulo
. Primeiro, para qualquer
tem-se
pois
divide
. Logo a equação
implica
Passo 5
Mas agora verifico quais são os quadrados possíveis módulo
. Calculo os quadrados dos representantes
:
Logo os quadrados módulo
só podem ser
ou
. Em particular, nenhum quadrado é congruente a
modulo
.
Passo 6
Voltando à dedução do passo 4, chegaríamos a
. Isso contradiz o fato do passo 5 de que quadrados mod
só podem ser
ou
. Portanto não existe inteiro
tal que
. Conclusão: a equação
não pode ser satisfeita por inteiros
. Logo não há solução inteira.
Resposta
Se
é um quadrado inteiro então
ou
para algum
.
A equação
não tem solução em
.