Seja a inteiro. Use congruências para mostrar que se a é um quadrado então a é da forma 5 k ou 5 k \pm 1.
14. Prove que a equação 3 x^{2}+2=y^{2} não tem solução em \mathbb{Z}

Passo 1

O enunciado contém duas tarefas claras:
  • (i) Mostrar que, para todo inteiro a, se a é um quadrado perfeito então a é da forma 5k ou 5k\pm1 para algum k\in\mathbb{Z}.
  • (ii) Provar que a equação 3x^{2}+2=y^{2} não tem solução em \mathbb{Z} (isto é, não existem inteiros x,y que satisfaçam a igualdade).
Informações relevantes dadas:
  • Em (i) sabemos apenas que a\in\mathbb{Z} e que existe m\in\mathbb{Z} tal que a=m^{2}.
  • Em (ii) x,y\in\mathbb{Z} e a igualdade 3x^{2}+2=y^{2} deve ser verificada (ou mostrada impossível).

Passo 2

Vou dar uma breve aula sobre congruências (bem prática): dizer que duas inteiros u e v são congruentes módulo n significa que n divide a diferença u-v. Escrevemos isso como
u\equiv v \pmod{n}.
Isto forma classes de equivalência chamadas resíduos módulo n. Para analisar quadrados módulo n (ou seja, os possíveis valores de m^{2}\pmod{n}), basta verificar os representantes 0,1,\dots,n-1 — porque qualquer inteiro é congruente a um desses. Uma vez conhecido o conjunto de quadrados possíveis modulo n, se uma igualdade inteira implica um resíduo que não pertence a esse conjunto, então a igualdade é impossível (contradição modular).

Passo 3

Aplicando isso ao item (i): trabalhar módulo 5. Vou calcular os quadrados dos resíduos 0,1,2,3,4 módulo 5:
0^{2}\equiv 0\pmod{5},
1^{2}\equiv 1\pmod{5},
2^{2}\equiv 4\pmod{5},
3^{2}\equiv 9\equiv 4\pmod{5},
4^{2}\equiv 16\equiv 1\pmod{5}.
Portanto, os possíveis resíduos quadráticos módulo 5 são exatamente \{0,1,4\}. Observe que 4\equiv -1\pmod{5}. Assim todo quadrado inteiro é congruente a 0 ou a \pm1 módulo 5; isto é, se a=m^{2} então
a\equiv 0,\;1\;\text{ou}\;4\pmod{5},
o que se reescreve como: existe k\in\mathbb{Z} tal que a=5k ou a=5k\pm1.
(Dica prática: para mostrar que “um inteiro só pode ser dessas formas” é suficiente listar os resíduos quadráticos e identificar quais são.)

Passo 4

Agora o item (ii): usar congruências para mostrar impossibilidade da equação 3x^{2}+2=y^{2}.
Escolho reduzir a igualdade módulo 3. Primeiro, para qualquer x\in\mathbb{Z} tem-se
3x^{2}\equiv 0\pmod{3},
pois 3 divide 3x^{2}. Logo a equação 3x^{2}+2=y^{2} implica
y^{2}\equiv 3x^{2}+2\equiv 0+2\equiv 2\pmod{3}.

Passo 5

Mas agora verifico quais são os quadrados possíveis módulo 3. Calculo os quadrados dos representantes 0,1,2:
0^{2}\equiv 0\pmod{3},
1^{2}\equiv 1\pmod{3},
2^{2}\equiv 4\equiv 1\pmod{3}.
Logo os quadrados módulo 3 só podem ser 0 ou 1. Em particular, nenhum quadrado é congruente a 2 modulo 3.

Passo 6

Voltando à dedução do passo 4, chegaríamos a y^{2}\equiv 2\pmod{3}. Isso contradiz o fato do passo 5 de que quadrados mod 3 só podem ser 0 ou 1. Portanto não existe inteiro y tal que y^{2}\equiv 2\pmod{3}. Conclusão: a equação 3x^{2}+2=y^{2} não pode ser satisfeita por inteiros x,y. Logo não há solução inteira.

Resposta

Se a é um quadrado inteiro então a=5k ou a=5k\pm1 para algum k\in\mathbb{Z}.
A equação 3x^{2}+2=y^{2} não tem solução em \mathbb{Z}.

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