Identifique e esboce a superficie quádrica.
x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{9}=1

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{9}=1
e pede para identificar seu tipo e esboçá-la. O conteúdo aqui é geometria analítica de superfícies quádricas, em especial elipsoides.

Passo 2

Para tornar explícita a forma padrão de elipsoide, dividimos cada termo de forma a exibir os quadrados dos semi-eixos. Assim:
x^{2}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{9}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{2^{2}}+\frac{z^{2}}{3^{2}}=1.

Passo 3

A equação
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
define um elipsoide centrado na origem com semi-eixos a, b e c. Comparando termos, obtemos
a=1,\quad b=2,\quad c=3.

Passo 4

Os pontos de interceptação com os eixos coordenados são fáceis de achar:
\,(x,y,z)=(\pm1,0,0) no eixo x,
\,(x,y,z)=(0,\pm2,0) no eixo y,
\,(x,y,z)=(0,0,\pm3) no eixo z.

Passo 5

Para esboçar:
  1. No plano xy (isto é, z=0) temos a elipse \frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{2^{2}}=1.
  2. No plano xz ( y=0) temos \frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{z^{2}}{3^{2}}=1.
  3. No plano yz ( x=0) temos \frac{y^{2}}{2^{2}}+\frac{z^{2}}{3^{2}}=1.
Desenhando essas três elipses perpendiculares e ligando-as suavemente obtemos o esboço do elipsoide de semi-eixos 1, 2 e 3.

Resposta

A superfície é um elipsoide centrado na origem com semi-eixos
a=1,\quad b=2,\quad c=3.

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