Identifique a função f(x)=\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\lim _{k \rightarrow+\infty}(\cos (n!\pi x))^{2 k}\right). ([Sp] p. 381 no. 5 e [Hd])

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\lim_{n\to+\infty}\left(\lim_{k\to+\infty}(\cos(n!\pi x))^{2k}\right).
Pergunta: identificar explicitamente a função f, ou seja, para cada x\in\mathbb{R} determinar o valor de f(x).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão envolve um limite iterado: primeiro k\to+\infty em (\cos(n!\pi x))^{2k}, depois n\to+\infty.
  • A quantidade dentro das potências é \cos(n!\pi x), que é um número real entre -1 e 1.
  • Precisaremos entender o que faz a sequência a_k=(\cos\theta)^{2k}=(\cos^2\theta)^k quando k\to\infty, para \theta=n!\pi x.

Passo 2

Analisando o limite interno \displaystyle\lim_{k\to+\infty}(\cos(n!\pi x))^{2k}.
A ideia básica (aula curta): se r é um número real com 0\le r<1, então r^k\to0 quando k\to\infty. Se r=1, então r^k=1 para todo k. No nosso caso temos r=\cos^2(n!\pi x), que satisfaz 0\le \cos^2(n!\pi x)\le 1.
Logo:
  • Se \cos^2(n!\pi x)<1 (ou equivalentemente |\cos(n!\pi x)|<1), então
(\cos(n!\pi x))^{2k}=(\cos^2(n!\pi x))^k \longrightarrow 0 \quad (k\to\infty).
  • Se \cos^2(n!\pi x)=1 (ou seja |\cos(n!\pi x)|=1), então
(\cos(n!\pi x))^{2k}=1^k=1 \quad\text{para todo }k,
e o limite quando k\to\infty é 1.
Exemplo simples para fixar: se \cos(n!\pi x)=\tfrac12, então (\tfrac12)^{2k}=(\tfrac14)^k\to0. Se \cos(n!\pi x)=-1, então (-1)^{2k}=1 sempre.

Passo 3

Traduzindo a condição |\cos(n!\pi x)|=1 em termos de x.
Sabemos que |\cos\theta|=1 se, e somente se, \theta é múltiplo inteiro de \pi. Ou seja,
|\cos\theta|=1 \quad\Longleftrightarrow\quad \theta\in \pi\mathbb{Z}.
Aplicando a \theta=n!\pi x, obtemos
|\cos(n!\pi x)|=1 \quad\Longleftrightarrow\quad n!\pi x \in \pi\mathbb{Z} \quad\Longleftrightarrow\quad n! x \in \mathbb{Z}.
Portanto o limite interno vale 1 exatamente quando n!x é inteiro, e vale 0 quando n!x não é inteiro.
Definimos, para cada n,
g_n(x)=\lim_{k\to\infty}(\cos(n!\pi x))^{2k}= \begin{cases} 1, & \text{se } n!x\in\mathbb{Z},\\[4pt] 0, & \text{se } n!x\notin\mathbb{Z}. \end{cases}]

Passo 4

Agora precisamos calcular f(x)=\lim_{n\to\infty} g_n(x). Ou seja, entender se g_n(x) fica finalmente igual a 1 para n grandes, ou fica sempre 0, ou algo intermitente.
Vamos separar os casos: x racional e x irracional.
  1. Caso x irracional.\
    Se x\notin\mathbb{Q} então para qualquer n temos n!x\notin\mathbb{Z}. (Porque se n!x\in\mathbb{Z} então x seria igual a um inteiro dividido por n!, isto é um racional, contradição.) Logo para todo n vale g_n(x)=0. Assim
\lim_{n\to\infty} g_n(x)=0 \quad\text{quando } x\notin\mathbb{Q}.
  1. Caso x racional.\
    Escreva x na forma irredutível \displaystyle x=\frac{p}{q} com p\in\mathbb{Z} e q\in\mathbb{N}, \gcd(p,q)=1.
    Para qualquer n\ge q o fatorial n! é divisível por q, então n!\cdot\frac{p}{q} é inteiro. Em símbolos: se n\ge q então q\mid n! e portanto n!x\in\mathbb{Z}. Isso mostra que para todo n suficientemente grande (qualquer n\ge q) temos g_n(x)=1. Logo a sequência g_n(x) fica igual a 1 a partir de algum índice e portanto
\lim_{n\to\infty} g_n(x)=1 \quad\text{quando } x\in\mathbb{Q}.

Passo 5

Conclusão: a função limite distingue exatamente números racionais e irracionais.
  • Para x\in\mathbb{Q} existe N tal que, para todo n\ge N, g_n(x)=1; assim f(x)=1.
  • Para x\notin\mathbb{Q} temos g_n(x)=0 para todo n; assim f(x)=0.
Interpretando: f é a função indicadora dos racionais (a conhecida função de Dirichlet que vale 1 nos racionais e 0 nos irracionais).

Resposta

f(x)=1 para todo x\in\mathbb{Q}.\n f(x)=0 para todo x\notin\mathbb{Q}.

Exercícios relacionados