Identifique a função
. ([Sp] p. 381 no. 5 e [Hd])
Passo 1
O enunciado define a função
Pergunta: identificar explicitamente a função
, ou seja, para cada
determinar o valor de
.
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão envolve um limite iterado: primeiro
em , depois . - A quantidade dentro das potências é
, que é um número real entre e . - Precisaremos entender o que faz a sequência
quando , para .
Passo 2
Analisando o limite interno
.
A ideia básica (aula curta): se
é um número real com
, então
quando
. Se
, então
para todo
. No nosso caso temos
, que satisfaz
.
Logo:
- Se
(ou equivalentemente ), então
- Se
(ou seja ), então
e o limite quando
é
.
Exemplo simples para fixar: se
, então
. Se
, então
sempre.
Passo 3
Traduzindo a condição
em termos de
.
Sabemos que
se, e somente se,
é múltiplo inteiro de
. Ou seja,
Aplicando a
, obtemos
Portanto o limite interno vale
exatamente quando
é inteiro, e vale
quando
não é inteiro.
Definimos, para cada
,
Passo 4
Agora precisamos calcular
. Ou seja, entender se
fica finalmente igual a
para
grandes, ou fica sempre
, ou algo intermitente.
Vamos separar os casos:
racional e
irracional.
- Caso
irracional.\
Seentão para qualquer temos . (Porque se então seria igual a um inteiro dividido por , isto é um racional, contradição.) Logo para todo vale . Assim
- Caso
racional.\
Escrevana forma irredutível com e , .
Para qualquero fatorial é divisível por , então é inteiro. Em símbolos: se então e portanto . Isso mostra que para todo suficientemente grande (qualquer ) temos . Logo a sequência fica igual a a partir de algum índice e portanto
Passo 5
Conclusão: a função limite distingue exatamente números racionais e irracionais.
- Para
existe tal que, para todo , ; assim . - Para
temos para todo ; assim .
Interpretando:
é a função indicadora dos racionais (a conhecida função de Dirichlet que vale
nos racionais e
nos irracionais).