Seja
uma sequência crescente. Prove que
(a) se
é limitada superiormente, então ela é constante a partir de um certo termo;
(b) se
é estritamente crescente, então
para todo
. Conclua que
não é limitada superiormente.
(a) se
(b) se
Passo 1
O enunciado dá uma sequência
com termos em
que é crescente (no sentido não decrescente:
para todo
). Pede dois fatos:
(a) Mostrar que, se
é limitada superiormente, então existe um índice a partir do qual todos os termos são iguais (isto é, a sequência torna‑se constante a partir de um certo termo).
(b) Mostrar que, se
é estritamente crescente (isto é,
para todo
), então
para todo
; e concluir a partir disso que uma sequência estritamente crescente de naturais não pode ser limitada superiormente.
Dados relevantes: os termos são naturais (
); a sequência é crescente (ou estritamente crescente, no item (b)); em (a) há a hipótese adicional de existir um majorante
tal que
para todo
.
Passo 2
Definições e observações úteis (explicadas com calma):
-
Dizer que
é limitada superiormente significa que existe tal que para todo . -
Como
, cada é um inteiro positivo. Portanto, se para todo , então todos os valores possíveis da sequência pertencem ao conjunto finito
onde
é a parte inteira de
. Logo a imagem da sequência é um subconjunto finito dos naturais.
- “Crescente” aqui vou entender como não decrescente:
. “Estritamente crescente” significa .
Essas observações serão usadas para provar (a) e (b).
Passo 3
Prova de (a) — existência de estabilidade (constância após certo índice).
Como visto, se existe
tal que
para todo
, então o conjunto
é um subconjunto finito de
, portanto
tem um maior elemento. Denote
Por definição de máximo, existe pelo menos um índice
tal que
.
Passo 4
Continuação da prova de (a) — usar a monotonicidade para concluir constância.
Como a sequência é crescente (não decrescente), para todo
temos
Mas por definição de
(é o maior valor que aparece na sequência) também vale
para todo
. Juntando as duas desigualdades obtemos, para todo
,
Portanto a sequência é constante a partir de
. Isso prova (a).
(Comentário rápido e intuitivo: como os
são naturais, cada aumento tem pelo menos unidade; se existissem infinitos aumentos ultrapassariam qualquer majorante.)
Passo 5
Prova de (b) — primeira parte: provar
por indução.
Vou assumir a convenção usual
. (Se a sua convenção incluir
, troque o índice inicial adequadamente.) Provo por indução em
que
Base
: como
e
começa em
, temos
, logo
é verdade.
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
. Como a sequência é estritamente crescente, temos
(na verdade
, mas
é uma forma conveniente de escrever que aumenta pelo menos 1 inteiramente). Então
onde usamos a hipótese indutiva
. Assim
. Isso completa o passo indutivo.
Portanto, por indução,
para todo
.
Passo 6
Conclusão de (b) — a sequência estritamente crescente não é limitada superiormente.
A desigualdade
implica que, à medida que
, os termos
crescem sem limite (pelo menos tão rápido quanto a própria sequência
). Formalmente: se houvesse um majorante
tal que
para todo
, então teríamos
para todo
, o que é impossível para
arbitrariamente grande. Portanto não existe tal
; a sequência não é limitada superiormente.
Uma outra forma de ver isso, usando (a): se a sequência estritamente crescente fosse limitada superiormente, pelo item (a) ela seria constante a partir de certo índice, o que contradiz a hipótese de ser estritamente crescente. Logo a sequência não pode ser limitada superiormente.
Resposta
(a) Existe
tal que
para todo
(ou seja, a sequência é constante a partir de um certo termo).
(b) para todo
; portanto
não é limitada superiormente.
(b)