Seja \left(n_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{N} uma sequência crescente. Prove que
(a) se \left(n_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} é limitada superiormente, então ela é constante a partir de um certo termo;
(b) se \left(n_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} é estritamente crescente, então n_{k} \geq k para todo k \in \mathbb{N}. Conclua que \left(n_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}} não é limitada superiormente.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência \left(n_{k}\right)_{k\in\mathbb{N}} com termos em \mathbb{N} que é crescente (no sentido não decrescente: n_{k+1}\ge n_k para todo k). Pede dois fatos:
(a) Mostrar que, se \left(n_{k}\right) é limitada superiormente, então existe um índice a partir do qual todos os termos são iguais (isto é, a sequência torna‑se constante a partir de um certo termo).
(b) Mostrar que, se \left(n_{k}\right) é estritamente crescente (isto é, n_{k+1}>n_k para todo k), então \,n_k\ge k para todo k\in\mathbb{N}; e concluir a partir disso que uma sequência estritamente crescente de naturais não pode ser limitada superiormente.
Dados relevantes: os termos são naturais ( n_k\in\mathbb{N}); a sequência é crescente (ou estritamente crescente, no item (b)); em (a) há a hipótese adicional de existir um majorante M\in\mathbb{R} tal que n_k\le M para todo k.

Passo 2

Definições e observações úteis (explicadas com calma):
  • Dizer que \left(n_k\right) é limitada superiormente significa que existe M\in\mathbb{R} tal que \,n_k\le M para todo k.
  • Como n_k\in\mathbb{N}, cada n_k é um inteiro positivo. Portanto, se \,n_k\le M para todo k, então todos os valores possíveis da sequência pertencem ao conjunto finito
\{1,2,\dots,\lfloor M\rfloor\},
onde \lfloor M\rfloor é a parte inteira de M. Logo a imagem da sequência é um subconjunto finito dos naturais.
  • “Crescente” aqui vou entender como não decrescente: n_{k+1}\ge n_k. “Estritamente crescente” significa n_{k+1}>n_k.
Essas observações serão usadas para provar (a) e (b).

Passo 3

Prova de (a) — existência de estabilidade (constância após certo índice).
Como visto, se existe M tal que n_k\le M para todo k, então o conjunto
S=\{n_k : k\in\mathbb{N}\}
é um subconjunto finito de \mathbb{N}, portanto S tem um maior elemento. Denote
a=\max S.
Por definição de máximo, existe pelo menos um índice k_0 tal que n_{k_0}=a.

Passo 4

Continuação da prova de (a) — usar a monotonicidade para concluir constância.
Como a sequência é crescente (não decrescente), para todo k\ge k_0 temos
n_k\ge n_{k_0}=a.
Mas por definição de a (é o maior valor que aparece na sequência) também vale n_k\le a para todo k. Juntando as duas desigualdades obtemos, para todo k\ge k_0,
n_k=a.
Portanto a sequência é constante a partir de k_0. Isso prova (a).
(Comentário rápido e intuitivo: como os n_k são naturais, cada aumento tem pelo menos unidade; se existissem infinitos aumentos ultrapassariam qualquer majorante.)

Passo 5

Prova de (b) — primeira parte: provar \,n_k\ge k por indução.
Vou assumir a convenção usual \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}. (Se a sua convenção incluir 0, troque o índice inicial adequadamente.) Provo por indução em k que
n_k\ge k\quad\text{para todo }k\in\mathbb{N}.
Base k=1: como n_1\in\mathbb{N} e \mathbb{N} começa em 1, temos n_1\ge 1, logo n_1\ge 1 é verdade.
Passo indutivo: suponha que para algum k\ge 1 valha n_k\ge k. Como a sequência é estritamente crescente, temos n_{k+1}\ge n_k+1 (na verdade >, mas \ge n_k+1 é uma forma conveniente de escrever que aumenta pelo menos 1 inteiramente). Então
n_{k+1}\ge n_k+1\ge k+1,
onde usamos a hipótese indutiva n_k\ge k. Assim n_{k+1}\ge k+1. Isso completa o passo indutivo.
Portanto, por indução, n_k\ge k para todo k\in\mathbb{N}.

Passo 6

Conclusão de (b) — a sequência estritamente crescente não é limitada superiormente.
A desigualdade n_k\ge k implica que, à medida que k\to\infty, os termos n_k crescem sem limite (pelo menos tão rápido quanto a própria sequência k). Formalmente: se houvesse um majorante M tal que n_k\le M para todo k, então teríamos k\le n_k\le M para todo k, o que é impossível para k arbitrariamente grande. Portanto não existe tal M; a sequência não é limitada superiormente.
Uma outra forma de ver isso, usando (a): se a sequência estritamente crescente fosse limitada superiormente, pelo item (a) ela seria constante a partir de certo índice, o que contradiz a hipótese de ser estritamente crescente. Logo a sequência não pode ser limitada superiormente.

Resposta

(a) Existe k_0\in\mathbb{N} tal que n_k=n_{k_0} para todo k\ge k_0 (ou seja, a sequência é constante a partir de um certo termo).
(b) \;n_k\ge k para todo k\in\mathbb{N}; portanto \left(n_k\right) não é limitada superiormente.

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