Dado v=(a, b) \in \mathbb{R}^{2} definimos \|v\|_{p}=\sqrt[p]{|a|^{p}+|b|^{p}}. Prove que \lim _{p \rightarrow \infty}\|v\|_{p}= \max (|a|,|b|). Isto justifica a definicão \|a\| = \max (|a|, |b|)

Passo 1

O enunciado dá o vetor v=(a,b)\in\mathbb{R}^2 e define, para cada p>0,
\|v\|_{p}=\sqrt[p]{|a|^{p}+|b|^{p}}.
A tarefa é provar que
\lim_{p\to\infty}\|v\|_{p}=\max(|a|,|b|).
Informações relevantes fornecidas:
  • As coordenadas a e b são números reais, portanto |a| e |b| são não negativas.
  • A norma \|v\|_{p} depende de p e envolve a soma de potências |a|^{p}+|b|^{p}.
  • Queremos o comportamento de \|v\|_{p} quando p cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro trate do caso trivial: se a=0 e b=0, então |a|=|b|=0. Nesse caso
\|v\|_{p}=\sqrt[p]{0+0}=0
para todo p, logo
\lim_{p\to\infty}\|v\|_{p}=0=\max(|a|,|b|).
Portanto a afirmação vale quando v é o vetor nulo. A partir de agora suponha que pelo menos uma das coordenadas é não nula.

Passo 3

Para ficar mais claro, defina
x=|a|\ge 0,\qquad y=|b|\ge 0
e
M=\max(x,y).
Queremos mostrar que \lim_{p\to\infty}\sqrt[p]{x^{p}+y^{p}}=M. Vou provar duas desigualdades que “apertam” \|v\|_{p} entre M e uma quantidade que tende a M.

Passo 4

Prova da desigualdade inferior M\le \sqrt[p]{x^{p}+y^{p}}.
Explicação didática: se M é o maior entre x e y, então x^{p}\le M^{p} e y^{p}\le M^{p}. Em particular, como um dos termos é igual a M^{p}, a soma x^{p}+y^{p} é pelo menos M^{p}. Formalmente,
x^{p}+y^{p}\ge M^{p}.
Aplicando a raiz p-ésima (função crescente para p>0) aos dois lados obtemos
\sqrt[p]{x^{p}+y^{p}}\ge \sqrt[p]{M^{p}}=M.
Portanto
M\le \|v\|_{p}.

Passo 5

Prova da desigualdade superior \sqrt[p]{x^{p}+y^{p}}\le 2^{1/p}M.
Explicação didática: como x\le M e y\le M, temos x^{p}\le M^{p} e y^{p}\le M^{p}, então
x^{p}+y^{p}\le M^{p}+M^{p}=2M^{p}.
Tomando a raiz p-ésima,
\sqrt[p]{x^{p}+y^{p}}\le \sqrt[p]{2M^{p}}.
A raiz separa o produto:
\sqrt[p]{2M^{p}}=\sqrt[p]{2}\,\sqrt[p]{M^{p}}=2^{1/p}M.
Logo
\|v\|_{p}\le 2^{1/p}M.

Passo 6

Juntando as duas desigualdades obtidas temos, para todo p>0,
M \le \|v\|_{p} \le 2^{1/p}M.
Isto significa que \|v\|_{p} está “trancado” entre M e 2^{1/p}M.

Passo 7

Agora faça o limite quando p\to\infty. Observação importante: 2^{1/p}=\exp\big(\tfrac{\ln 2}{p}\big) e, como \tfrac{\ln 2}{p}\to 0 quando p\to\infty, segue que
\lim_{p\to\infty}2^{1/p}=1.
Aplicando limite na cadeia de desigualdades e usando o teorema do confronto (ou sanduíche), temos
M \le \liminf_{p\to\infty}\|v\|_{p} \le \limsup_{p\to\infty}\|v\|_{p} \le \lim_{p\to\infty}2^{1/p}M = M.
Assim \liminf e \limsup coincidem e valem M, portanto o limite existe e
\lim_{p\to\infty}\|v\|_{p}=M=\max(|a|,|b|).

Passo 8

Interpretação final e justificativa da definição: mostramos que as normas p-ésimas \|v\|_{p} convergem para \max(|a|,|b|) quando p\to\infty. Isso justifica definir a “norma do supremo” (ou norma \ell^{\infty}) como
\|v\|_{\infty}=\max(|a|,|b|),
pois ela aparece naturalmente como limite das normas \|v\|_{p} quando p cresce.

Resposta

\displaystyle \lim_{p\to\infty}\|v\|_{p}=\max(|a|,|b|)

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