Dado
definimos
. Prove que
. Isto justifica a definicão
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e define, para cada
,
A tarefa é provar que
Informações relevantes fornecidas:
- As coordenadas
e são números reais, portanto e são não negativas. - A norma
depende de e envolve a soma de potências . - Queremos o comportamento de
quando cresce sem limite.
Passo 2
Primeiro trate do caso trivial: se
e
, então
. Nesse caso
para todo
, logo
Portanto a afirmação vale quando
é o vetor nulo. A partir de agora suponha que pelo menos uma das coordenadas é não nula.
Passo 3
Para ficar mais claro, defina
e
Queremos mostrar que
. Vou provar duas desigualdades que “apertam”
entre
e uma quantidade que tende a
.
Passo 4
Prova da desigualdade inferior
.
Explicação didática: se
é o maior entre
e
, então
e
. Em particular, como um dos termos é igual a
, a soma
é pelo menos
. Formalmente,
Aplicando a raiz
-ésima (função crescente para
) aos dois lados obtemos
Portanto
Passo 5
Prova da desigualdade superior
.
Explicação didática: como
e
, temos
e
, então
Tomando a raiz
-ésima,
A raiz separa o produto:
Logo
Passo 6
Juntando as duas desigualdades obtidas temos, para todo
,
Isto significa que
está “trancado” entre
e
.
Passo 7
Agora faça o limite quando
. Observação importante:
e, como
quando
, segue que
Aplicando limite na cadeia de desigualdades e usando o teorema do confronto (ou sanduíche), temos
Assim
e
coincidem e valem
, portanto o limite existe e
Passo 8
Interpretação final e justificativa da definição: mostramos que as normas
-ésimas
convergem para
quando
. Isso justifica definir a “norma do supremo” (ou norma
) como
pois ela aparece naturalmente como limite das normas
quando
cresce.