Identifique a função z=f(x, y) como combinação de funções elementares do cálculo e deduza que ela é contínua em seu domínio.
f(x, y)=ln (x y-2)

Passo 1

Estamos com a função f(x,y)=ln(xy-2), precisamos mostrá-la como composição de funções elementares e concluir que é contínua em seu domínio.

Passo 2

Observe que podemos escrever f por partes: primeiro definimos g(x,y)=xcdot y, depois h(u)=u-2 e por fim f(v)=ln(v). Logo, (f(x,y)=\ln\bigl((x\cdot y)-2\bigr)=f\bigl(h(g(x,y))\bigr).

Passo 3

Para que ln(xy-2) esteja bem definida, é necessário ter xy-2>0. Portanto o domínio é (D={(x,y)\in\mathbb R^2:xy>2}.

Passo 4

Sabemos que as operações de multiplicação e subtração são contínuas em R^2 e R, respectivamente, e que a função ln(v) é contínua para v>0. Como composição de funções contínuas resulta em função contínua, concluímos que f é contínua em todo o seu domínio D.

Resposta

A função é contínua em seu domínio D=(x,y)in R^2:xy>2.

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