Calcule as seguintes integrais:
integral(ln x)^2 d x

Passo 1

Temos a integral integral (ln x)^2,dx. Esse tipo de integral a gente resolve bem com integração por partes, usando a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Vamos escolher u = (ln x)^2 e dv = dx. A ideia é fazer a derivada de u simplificar o logaritmo.
Calculando du e v:
du = 2ln x cdot 1x ,dx = 2ln xx,dx
v = integral dv = integral dx = x

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral (ln x)^2,dx = u,v - integral v,du = x(ln x)^2 - integral x cdot 2ln xx,dx = x(ln x)^2 - 2integral ln x,dx

Passo 4

Agora resta calcular integral ln x,dx. Usamos integração por partes de novo com u = ln x e dv = dx:
du = 1x,dx, v = x,
integral ln x,dx = xln x - integral x cdot 1x,dx = xln x - integral 1,dx = xln x - x

Passo 5

Substituindo de volta em integral (ln x)^2,dx e reunindo a constante de integração:
integral (ln x)^2,dx = x(ln x)^2 - 2l(xln x - xr) + C = x(ln x)^2 - 2xln x + 2x + C
Para deixar mais elegante, podemos fatorar x:
xl((ln x)^2 - 2ln x + 2r) + C

Resposta

xl((ln x)^2 - 2ln x + 2r) + C

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