Assinale abaixo a série que representa o ln x em torno de x=7 :
a) ln 7+sumn=1^infty (-1)^n-1(x-7)^nn 7^n
b) ln 7+sumn=1^infty (-1)^n-1(x-7)^n-2n 7^n
c) ln 7+sumn=1^infty (-1)^n+1(x-7)^2 n(n+1) n 7^n
d) sumn=1^infty (x-7)^n(n+1) 5^n
e) ln 7+sumn=1^infty x^nn 7^n
f) NDR

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer saber qual das séries apresentadas representa o ln x em torno de x = 7. Vamos precisar usar a série de Taylor, que nos permite expandir funções em séries de potências em torno de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a série de Taylor para uma função f(x) em torno de um ponto a:
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2!(x - a)^2 + f'''(a)3!(x - a)^3 + dots
No nosso caso, f(x) = ln x e a = 7. Precisamos calcular as derivadas de ln x e substituir na fórmula.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de ln x:
  1. Primeira derivada: f'(x) = 1x
  2. Segunda derivada: f''(x) = -1x^2
  3. Terceira derivada: f'''(x) = 2x^3
  4. Quarta derivada: f''''(x) = -6x^4
  5. E assim por diante…
Observamos que as derivadas seguem um padrão de alternância de sinais e aumento no expoente de x.

Passo 4

Substituindo as derivadas na série de Taylor:
ln x = ln 7 + 17(x - 7) - 12 cdot 7^2(x - 7)^2 + 13 cdot 7^3(x - 7)^3 - dots
Podemos escrever isso de forma mais geral como:
ln x = ln 7 + sumn=1^infty (-1)^n-1 (x - 7)^nn cdot 7^n

Passo 5

Agora, vamos comparar essa série com as opções apresentadas no exercício:
a) ln 7 + sumn=1^infty (-1)^n-1(x-7)^nn cdot 7^n
b) ln 7 + sumn=1^infty (-1)^n-1(x-7)^n-2n cdot 7^n
c) ln 7 + sumn=1^infty (-1)^n+1(x-7)^2n(n+1) cdot n cdot 7^n
d) sumn=1^infty (x-7)^n(n+1) cdot 5^n
e) ln 7 + sumn=1^infty x^nn cdot 7^n
Ficou claro que a opção a) coincide exatamente com a série que derivamos.

Resposta

A alternativa a) é a correta:
ln 7 + sumn=1^infty (-1)^n-1(x-7)^nn cdot 7^n

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