Assinale abaixo a série que representa o
em torno de
:
a)
b)
c)
d)
e)
f) NDR
a)
b)
c)
d)
e)
f) NDR
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer saber qual das séries apresentadas representa o
em torno de
. Vamos precisar usar a série de Taylor, que nos permite expandir funções em séries de potências em torno de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a série de Taylor para uma função
em torno de um ponto
:
No nosso caso,
e
. Precisamos calcular as derivadas de
e substituir na fórmula.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
- E assim por diante…
Observamos que as derivadas seguem um padrão de alternância de sinais e aumento no expoente de
.
Passo 4
Substituindo as derivadas na série de Taylor:
Podemos escrever isso de forma mais geral como:
Passo 5
Agora, vamos comparar essa série com as opções apresentadas no exercício:
a)
b)
c)
d)
e)
Ficou claro que a opção a) coincide exatamente com a série que derivamos.
Resposta
A alternativa a) é a correta: