Identifique se as funções abaixo são contínuas no ponto zo. Justifique suas respostas
z o=i ; f(z)=\left\{\begin{array}{r}\frac{z^{3}-1}{z-1},|z| \neq 1 \\\\ 3,|z|=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(z)= \begin{cases} \dfrac{z^{3}-1}{z-1}, & |z|\neq 1,\\[1em] 3, & |z|=1, \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em z_{0}=i. O conteúdo aqui é continuação de funções complexas, ou seja, verificar se
\lim_{z\to i} f(z) = f(i).
]

Passo 2

Como |i|=1, pelo enunciado temos
f(i)=3.

Passo 3

Para |z|\neq1 podemos simplificar
\frac{z^{3}-1}{z-1} =\frac{(z-1)(z^{2}+z+1)}{z-1} =z^{2}+z+1.
Logo, o limite de f(z) quando z\to i (sempre com |z|\neq1) é
\lim_{z\to i}f(z) =\lim_{z\to i}(z^{2}+z+1) =i^{2}+i+1 =-1+i+1 =i.

Passo 4

Concluímos que
\lim_{z\to i}f(z)=i \quad\text{e}\quad f(i)=3,
portanto o limite não coincide com o valor da função em z=i. Assim, f não é contínua em z_{0}=i.

Resposta

A função não é contínua em z_{0}=i.

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