Identifique se as funções abaixo são contínuas no ponto zo. Justifique suas respostas z o=i ; f(z)=\left\{\begin{array}{r}\frac{z^{3}-1}{z-1},|z| \neq 1 \\\\ 3,|z|=1\end{array}\right. Passo 1O enunciado define a função f(z)= \begin{cases} \dfrac{z^{3}-1}{z-1}, & |z|\neq 1,\\[1em] 3, & |z|=1, \end{cases} e pede para verificar se f é contínua em z_{0}=i. O conteúdo aqui é continuação de funções complexas, ou seja, verificar se \lim_{z\to i} f(z) = f(i). ] Passo 2Como |i|=1, pelo enunciado temos f(i)=3. Passo 3Para |z|\neq1 podemos simplificar \frac{z^{3}-1}{z-1} =\frac{(z-1)(z^{2}+z+1)}{z-1} =z^{2}+z+1. Logo, o limite de f(z) quando z\to i (sempre com |z|\neq1) é \lim_{z\to i}f(z) =\lim_{z\to i}(z^{2}+z+1) =i^{2}+i+1 =-1+i+1 =i. Passo 4Concluímos que \lim_{z\to i}f(z)=i \quad\text{e}\quad f(i)=3, portanto o limite não coincide com o valor da função em z=i. Assim, f não é contínua em z_{0}=i. RespostaA função não é contínua em z_{0}=i. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosIdentifique se as funções abaixo são contínuas no ponto zo. Justifique suas respostas \quad z o=0 ; f(z)=\left\{\begin{array}{l}\frac{z}{|z|},|z| \neq 0 \\\\ 1,|z|=0\end{array}\right. Identifique se as funções abaixo são contínuas no ponto zo. Justifique suas respostas \quad z o=0 ; f(z)=\left\{\begin{array}{l}\frac{z}{|z|},|z| \neq 0 \\\\ 1,|z|=0\end{array}\right. Mostre que pode utilizar a regra de L’Hopital para determinar os limites abaixo, em seguida determine os valores dos limites \lim _{z \rightarrow 1+i} \frac{z^{5}+4 z}{z^{2}-2 z+2}