Identifique se as funções abaixo são contínuas no ponto zo. Justifique suas respostas \quad z o=0 ; f(z)=\left\{\begin{array}{l}\frac{z}{|z|},|z| \neq 0 \\\\ 1,|z|=0\end{array}\right.
e pede para verificar se f é contínua em z_0=0. Para isso, vamos usar a definição de continuidade em \,z_0:
f\text{ é contínua em }z_0\quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0).éí
Passo 2
Para |z|\neq 0, temos
f(z)=\frac{z}{|z|} \;=\; e^{i\arg(z)},
que é um número de módulo 1 e cujo valor depende apenas da direção (argumento) de z. Assim, ao calcular \lim_{z\to0}f(z), é natural tentar aproximar z de 0 por direções diferentes.
Passo 3
Aproximando z\to0 ao longo do eixo real positivo, escrevemos z=r com r>0 e r\to0. Então
f(r)=\frac{r}{|r|}=\frac{r}{r}=1
e, portanto,
\lim_{\substack{z\to0\z\in\mathbb R^+}}f(z)=1.
Passo 4
Aproximando z\to0 ao longo do eixo real negativo, escrevemos z=-r com r>0 e r\to0. Então