Identifique se as funções abaixo são contínuas no ponto zo. Justifique suas respostas
\quad z o=0 ; f(z)=\left\{\begin{array}{l}\frac{z}{|z|},|z| \neq 0 \\\\ 1,|z|=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(z)= \begin{cases} \dfrac{z}{|z|},&|z|\neq 0,\\\\ 1,&|z|=0, \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em z_0=0. Para isso, vamos usar a definição de continuidade em \,z_0:
f\text{ é contínua em }z_0\quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0).éí

Passo 2

Para |z|\neq 0, temos
f(z)=\frac{z}{|z|} \;=\; e^{i\arg(z)},
que é um número de módulo 1 e cujo valor depende apenas da direção (argumento) de z. Assim, ao calcular \lim_{z\to0}f(z), é natural tentar aproximar z de 0 por direções diferentes.

Passo 3

Aproximando z\to0 ao longo do eixo real positivo, escrevemos z=r com r>0 e r\to0. Então
f(r)=\frac{r}{|r|}=\frac{r}{r}=1
e, portanto,
\lim_{\substack{z\to0\z\in\mathbb R^+}}f(z)=1.

Passo 4

Aproximando z\to0 ao longo do eixo real negativo, escrevemos z=-r com r>0 e r\to0. Então
f(-r)=\frac{-r}{|{-r}|}=\frac{-r}{r}=-1
e, portanto,
\lim_{\substack{z\to0\z\in\mathbb R^-}}f(z)=-1.

Passo 5

Como
\lim_{\substack{z\to0\z\in\mathbb R^+}}f(z)=1 \quad\text{e}\quad \lim_{\substack{z\to0\z\in\mathbb R^-}}f(z)=-1,
os limites segundo duas direções distintas não coincidem. Logo
\lim_{z\to0}f(z)
não existe, e portanto não pode ser igual a f(0)=1. Concluímos que f não é contínua em z_0=0.

Resposta

A função f não é contínua em z_0=0.

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