Identifique se as funções abaixo são contínuas em todo o conjunto R^2.
h(x, y)=cx^2 yx^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 2, se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado apresenta a função por partes em e pede para verificar continuidade em todo . Vamos usar definição de continuidade e limites de funções de duas variáveis.

Passo 2

Para $(x,y)$ diferentes de $(0,0)$, a função (x,y) é razão de polinômios, com denominador não nulo. Polinômios são funções contínuas, e o quociente também, desde que o denominador não se anule. Logo, (0,0) é contínua em todo ponto $(x,y)\neq(0,0)$.

Passo 3

Para verificar continuidade em $(0,0)$, precisamos calcular $\lim_{(x,y)\to(0,0)}h(x,y)$ e comparar com (0,0). Usando coordenadas polares $(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta)$, o módulo de $h$ satisfaz:

Passo 4

$ |h(x,y)|=l|x^2yx^2+y^2r|=r^3|cos^2thetasintheta|r^2<= rcdot|cos^2thetasintheta|<= r

Passo 5

Como lim(x,y)to(0,0)h(x,y)=0, segue que $\lim_{(x,y)\to(0,0)}h(x,y)=0$.

Passo 6

Como o limite em $(0,0)$ vale (0,0) e (0,0) são diferentes, a função não é contínua em $(0,0)$.

Resposta

A função é contínua em todo $\mathbb{R}^2$ exceto no ponto $(0,0)$, onde é descontínua.

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