Identifique se as funções abaixo são contínuas em todo o conjunto .
Passo 1
O enunciado apresenta a função por partes em e pede para verificar continuidade em todo . Vamos usar definição de continuidade e limites de funções de duas variáveis.
Passo 2
Para $(x,y)$ diferentes de $(0,0)$, a função é razão de polinômios, com denominador não nulo. Polinômios são funções contínuas, e o quociente também, desde que o denominador não se anule. Logo, é contínua em todo ponto $(x,y)\neq(0,0)$.
Passo 3
Para verificar continuidade em $(0,0)$, precisamos calcular $\lim_{(x,y)\to(0,0)}h(x,y)$ e comparar com . Usando coordenadas polares $(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta)$, o módulo de $h$ satisfaz:
Passo 4
$
Passo 5
Como lim(x,y)to(0,0)h(x,y)=0, segue que $\lim_{(x,y)\to(0,0)}h(x,y)=0$.
Passo 6
Como o limite em $(0,0)$ vale (0,0) e (0,0) são diferentes, a função não é contínua em $(0,0)$.
Resposta
A função é contínua em todo $\mathbb{R}^2$ exceto no ponto $(0,0)$, onde é descontínua.