Identifique se as funções abaixo são contínuas em todo o conjunto
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar se a função $ f(x, y) = x^{3} y^{2} - x^{2} y^{4} + 8x + 2y $ é contínua em todo o conjunto $ \mathbb{R}^{2} $. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções multivariáveis, focando em funções polinomiais, que são geralmente tranquilas de analisar nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em $ \mathbb{R}^{2} $. De maneira simples, uma função é contínua em todo o seu domínio se, ao mudarmos os valores de $ x $ e $ y $ um pouquinho, o valor de $ f(x, y) $ também muda de forma suave, sem saltos ou quebras.
Passo 3
A função que estamos analisando é composta por termos como $ x^{3} y^{2} $, $ x^{2} y^{4} $, $ 8x $ e $ 2y $. Todas essas partes são polinômios em $ x $ e $ y $. Um polinômio é uma soma de produtos de potências inteiras não negativas das variáveis.
Passo 4
Uma propriedade importante dos polinômios é que eles são contínuos em todo o seu domínio. Isso quer dizer que, para qualquer valor real de $ x $ e $ y $, não importa o quão grande ou pequeno, a função não terá pontos de descontinuidade.
Passo 5
Vamos aplicar isso à nossa função $ f(x, y) $. Cada termo da função é um polinômio:
- $ x^{3} y^{2} $ é contínuo porque é um produto de termos contínuos.
- $ -x^{2} y^{4} $ também é contínuo pelo mesmo motivo.
- $ 8x $ e $ 2y $ são polinômios simples e, portanto, contínuos.
Passo 6
Como a soma e a diferença de funções contínuas também são contínuas, isso garante que toda a função $ f(x, y) $ seja contínua em $ \mathbb{R}^{2} $.
Resposta
A função $ f(x, y) = x^{3} y^{2} - x^{2} y^{4} + 8x + 2y $ é contínua em todo o conjunto $ \mathbb{R}^{2} $.