Identifique se as funções abaixo são contínuas em todo o conjunto R^2.
f(x, y)=x^3 y^2-x^2 y^4+8 x+2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar se a função $ f(x, y) = x^{3} y^{2} - x^{2} y^{4} + 8x + 2y $ é contínua em todo o conjunto $ \mathbb{R}^{2} $. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções multivariáveis, focando em funções polinomiais, que são geralmente tranquilas de analisar nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em $ \mathbb{R}^{2} $. De maneira simples, uma função é contínua em todo o seu domínio se, ao mudarmos os valores de $ x $ e $ y $ um pouquinho, o valor de $ f(x, y) $ também muda de forma suave, sem saltos ou quebras.

Passo 3

A função que estamos analisando é composta por termos como $ x^{3} y^{2} $, $ x^{2} y^{4} $, $ 8x $ e $ 2y $. Todas essas partes são polinômios em $ x $ e $ y $. Um polinômio é uma soma de produtos de potências inteiras não negativas das variáveis.

Passo 4

Uma propriedade importante dos polinômios é que eles são contínuos em todo o seu domínio. Isso quer dizer que, para qualquer valor real de $ x $ e $ y $, não importa o quão grande ou pequeno, a função não terá pontos de descontinuidade.

Passo 5

Vamos aplicar isso à nossa função $ f(x, y) $. Cada termo da função é um polinômio:
  • $ x^{3} y^{2} $ é contínuo porque é um produto de termos contínuos.
  • $ -x^{2} y^{4} $ também é contínuo pelo mesmo motivo.
  • $ 8x $ e $ 2y $ são polinômios simples e, portanto, contínuos.

Passo 6

Como a soma e a diferença de funções contínuas também são contínuas, isso garante que toda a função $ f(x, y) $ seja contínua em $ \mathbb{R}^{2} $.

Resposta

A função $ f(x, y) = x^{3} y^{2} - x^{2} y^{4} + 8x + 2y $ é contínua em todo o conjunto $ \mathbb{R}^{2} $.

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