Calcule os seguintes limites, começando por identificar, caso exista, o tipo de indeterminação.
lim x -infty 3 x^2+5 x-12 x+1

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função racional quando x→-∞. O conteúdo é limites envolvendo polinômios e indeterminações do tipo ∞/∞, e vamos usar as regras de limite para termos que tendem a infinito e o truque de dividir numerador e denominador por x.

Passo 2

Para x→-∞, vamos ver o comportamento de cada parte: o numerador 3x²+5x−1 cresce como 3x², logo tende a +∞. O denominador 2x+1 cresce como 2x, logo tende a −∞. Então a expressão tem a forma ∞/(−∞), ou seja ∞/∞, que é uma indeterminação.

Passo 3

Para eliminar essa indeterminação, dividimos numerador e denominador por x (o maior grau comum) assim:
3x^2+5x-12x+1=x,(3x+5-1/x)x,(2+1/x)=3x+5-1/x2+1/x

Passo 4

Agora aplicamos limites termo a termo: quando x→-∞ temos 5/xto0 e 1/xto0. Então o numerador 3x+5-1/x comporta-se como 3x (que vai a −∞) e o denominador vai a 2+0=2.
Como a fração fica parecida com (3x)/(2) e x→-∞, o quociente tende a −∞.

Passo 5

Portanto, o limite pedido é −∞.

Resposta

−∞

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