Identifique se as funções abaixo são contínuas em todo o conjunto
.
Passo 1
Temos a função
dada por
. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis e vamos usar o fato de que polinômios são contínuos e que quocientes de funções contínuas são contínuos onde o denominador não se anula.
Passo 2
O primeiro ponto é achar o domínio de
. Como temos um quociente de polinômios, precisamos garantir que o denominador não seja zero. Assim, impomos
Resolvendo a equação
para
, obtemos a curva
Portanto, o domínio de
é
.
Passo 3
Sabendo que qualquer polinômio em
é contínuo em
e que o quociente de duas funções contínuas é contínuo nos pontos em que o denominador é diferente de zero, podemos afirmar que
é contínua em todo o seu domínio.
Passo 4
Como o domínio não é todo
— falta justamente a curva
onde
não está nem definida — concluímos que
não é contínua em todo
, mas sim apenas em
.
Resposta
A função não é contínua em todo
. Ela é contínua em seu domínio
e não está definida (logo não contínua) na curva
.