Identifique se as funções abaixo são contínuas em todo o conjunto R^2.
g(x, y)=-x^2 y^4y^2+2 x+7

Passo 1

Temos a função g:R^2toR dada por
g(x,y)=-x^2y^4y^2+2x+7. O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis e vamos usar o fato de que polinômios são contínuos e que quocientes de funções contínuas são contínuos onde o denominador não se anula.

Passo 2

O primeiro ponto é achar o domínio de g. Como temos um quociente de polinômios, precisamos garantir que o denominador não seja zero. Assim, impomos
y^2+2x+7neq0
Resolvendo a equação y^2+2x+7=0 para x, obtemos a curva
x=-tfracy^2+72
Portanto, o domínio de g é
.

Passo 3

Sabendo que qualquer polinômio em x,y é contínuo em R^2 e que o quociente de duas funções contínuas é contínuo nos pontos em que o denominador é diferente de zero, podemos afirmar que g(x,y) é contínua em todo o seu domínio.

Passo 4

Como o domínio não é todo R^2 — falta justamente a curva y^2+2x+7=0 onde g não está nem definida — concluímos que g não é contínua em todo R^2, mas sim apenas em
.

Resposta

A função não é contínua em todo R^2. Ela é contínua em seu domínio (x,y)inR^2:y^2+2x+7neq0 e não está definida (logo não contínua) na curva y^2+2x+7=0.

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