Identifique geometricamente as curvas que compõem a fronteira e esboce as seguintes regiões do plano \mathbb{R}^{2} :
A região contida no interior do círculo x^{2}+y^{2}= 9 e acima da reta y=x.

Passo 1

O enunciado pede: descrever geometricamente e esboçar a região do plano que satisfaz duas condições simultâneas:
  • estar no interior do círculo x^{2}+y^{2}=9 (ou seja, dentro do disco de raio 3 centrado na origem);
  • estar acima da reta y=x (interpreto “acima” como y\ge x).
Informações dadas:
  • círculo: \;x^{2}+y^{2}=9\; (centro em (0,0), raio 3);
  • reta: \;y=x\;.
O que precisamos identificar: as curvas que formam a fronteira da região e como fica a região (para esboçar).

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção entre o círculo e a reta, pois eles marcam onde as duas fronteiras se encontram.
Solução do sistema
\begin{cases} x^{2}+y^{2}=9,\\[4pt] y=x. \end{cases}
Substituindo y=x na primeira equação:
x^{2}+x^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad 2x^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=\dfrac{9}{2}.
Portanto
x=\pm \dfrac{3}{\sqrt{2}}=\pm \dfrac{3\sqrt{2}}{2},
e como y=x os pontos de interseção são
\Bigl(\dfrac{3\sqrt{2}}{2},\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\Bigr) \quad\text{e}\quad \Bigl(-\dfrac{3\sqrt{2}}{2},-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\Bigr).]

Passo 3

Determinar as curvas que compõem a fronteira da região.
A fronteira da região \{(x,y): x^{2}+y^{2}\le 9,\; y\ge x\} é a união de:
  • a porção do círculo \;x^{2}+y^{2}=9\; que satisfaz y\ge x (ou seja, o arco do círculo entre os dois pontos de interseção encontrados); e
  • a porção da reta \;y=x\; que está dentro do disco, isto é, o segmento que une os dois pontos de interseção (pois para pontos do disco com y=x e |(x,y)|\le 3 a igualdade y=x faz parte da fronteira).
Observação importante: os dois pontos de interseção são antipodais (um é o negativo do outro), então o segmento da reta entre eles passa pela origem e é um diâmetro do círculo.

Passo 4

Caracterizar geometricamente a região inteira.
A reta y=x divide o plano em duas metades. A condição y\ge x seleciona a metade “acima” dessa reta. Interseccionando com o disco de raio 3, obtemos exatamente metade do disco: um semidisco (um disco cortado ao meio por um diâmetro). Portanto a região é um semidisco de raio 3, cujo diâmetro está sobre a reta y=x.
Em coordenadas polares (r,\theta) com x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, a desigualdade y\ge x vira \sin\theta\ge\cos\theta, isto é \theta\in\bigl[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}\bigr]. O círculo é r=3. Assim a região é
\{(r,\theta): 0\le r\le 3,\\ \theta\in[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{5\pi}{4}]\},
ou seja, exatamente o semidisco correspondente a ângulos entre \tfrac{\pi}{4} e \tfrac{5\pi}{4}.

Passo 5

Como esboçar a região passo a passo (minha dica prática, faça junto no papel):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque o círculo de centro (0,0) e raio 3. Uma boa referência: marque em cada eixo os pontos (\pm3,0) e (0,\pm3) e desenhe o círculo passando por eles.
  3. Trace a reta y=x (linha na diagonal a 45^\circ passando pela origem).
  4. Identifique os pontos de interseção calculados \bigl(\pm\dfrac{3\sqrt{2}}{2},\pm\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\bigr); eles ficam na diagonal, dentro do círculo, nos dois lados da origem.
  5. A região procurada é a parte do disco que fica do lado de cima da reta y=x: sombreie o semidisco limitado pelo arco do círculo entre esses dois pontos (o arco que passa por \theta=\tfrac{\pi}{4} até \theta=\tfrac{5\pi}{4}) e pelo segmento reto da reta y=x que une os dois pontos de interseção (o diâmetro).
Se quiser, destaque a fronteira: o arco circular ( x^{2}+y^{2}=9, com y\ge x) e o segmento sobre y=x com |(x,y)|\le 3.

Passo 6

Uma observação útil (para provas): a área dessa região é metade da área do círculo de raio 3, ou seja
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\pi(3)^{2}=\tfrac{9\pi}{2}.Á
Isso confirma que é exatamente um semidisco.

Resposta

A fronteira é a união do arco do círculo x^{2}+y^{2}=9 com y\ge x e do segmento da reta y=x que une \bigl(-\tfrac{3\sqrt{2}}{2},-\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\bigr) a \bigl(\tfrac{3\sqrt{2}}{2},\tfrac{3\sqrt{2}}{2}\bigr).
A região é o semidisco de raio 3 do lado de y\ge x (pode ser descrita por \{(x,y):x^{2}+y^{2}\le9,\\ y\ge x\}).

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