Identifique geometricamente as curvas que compõem a fronteira e esboce as seguintes regiões do plano
:
A região contida no interior do círculo
9 e acima da reta
.
A região contida no interior do círculo
Passo 1
O enunciado pede: descrever geometricamente e esboçar a região do plano que satisfaz duas condições simultâneas:
- estar no interior do círculo
(ou seja, dentro do disco de raio centrado na origem); - estar acima da reta
(interpreto “acima” como ).
Informações dadas:
- círculo:
(centro em , raio ); - reta:
.
O que precisamos identificar: as curvas que formam a fronteira da região e como fica a região (para esboçar).
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção entre o círculo e a reta, pois eles marcam onde as duas fronteiras se encontram.
Solução do sistema
Substituindo
na primeira equação:
Portanto
e como
os pontos de interseção são
Passo 3
Determinar as curvas que compõem a fronteira da região.
A fronteira da região
é a união de:
- a porção do círculo
que satisfaz (ou seja, o arco do círculo entre os dois pontos de interseção encontrados); e - a porção da reta
que está dentro do disco, isto é, o segmento que une os dois pontos de interseção (pois para pontos do disco com e a igualdade faz parte da fronteira).
Observação importante: os dois pontos de interseção são antipodais (um é o negativo do outro), então o segmento da reta entre eles passa pela origem e é um diâmetro do círculo.
Passo 4
Caracterizar geometricamente a região inteira.
A reta
divide o plano em duas metades. A condição
seleciona a metade “acima” dessa reta. Interseccionando com o disco de raio
, obtemos exatamente metade do disco: um semidisco (um disco cortado ao meio por um diâmetro). Portanto a região é um semidisco de raio
, cujo diâmetro está sobre a reta
.
Em coordenadas polares
com
,
, a desigualdade
vira
, isto é
. O círculo é
. Assim a região é
ou seja, exatamente o semidisco correspondente a ângulos entre
e
.
Passo 5
Como esboçar a região passo a passo (minha dica prática, faça junto no papel):
- Desenhe os eixos
e . - Marque o círculo de centro
e raio . Uma boa referência: marque em cada eixo os pontos e e desenhe o círculo passando por eles. - Trace a reta
(linha na diagonal a passando pela origem). - Identifique os pontos de interseção calculados
; eles ficam na diagonal, dentro do círculo, nos dois lados da origem. - A região procurada é a parte do disco que fica do lado de cima da reta
: sombreie o semidisco limitado pelo arco do círculo entre esses dois pontos (o arco que passa por até ) e pelo segmento reto da reta que une os dois pontos de interseção (o diâmetro).
Se quiser, destaque a fronteira: o arco circular (
, com
) e o segmento sobre
com
.
Passo 6
Uma observação útil (para provas): a área dessa região é metade da área do círculo de raio
, ou seja
Isso confirma que é exatamente um semidisco.
Resposta
A fronteira é a união do arco do círculo
com
e do segmento da reta
que une
a
.
A região é o semidisco de raio do lado de
(pode ser descrita por
).
A região é o semidisco de raio