Esboce no plano cartesiano a região delimitada pelas retas dadas e determine a área da figura geométrica formada:
y=2 x-1, y=-x+5 e o eixo das abscissas.

Passo 1

O enunciado dá três retas e pede dois itens: esboçar no plano cartesiano a região limitada por elas e determinar a área da figura formada. As retas fornecidas são:
  • y=2x-1,
  • y=-x+5,
  • o eixo das abscissas, isto é y=0.
Informações relevantes que vamos usar (retiradas do enunciado):
  • As equações das duas retas oblíquas ( y=2x-1 e y=-x+5).
  • O eixo x é dado por y=0.
    O objetivo final é encontrar a área da região limitada por essas três curvas (vai ser uma figura simples).

Passo 2

Para saber que figura é e desenhá-la, precisamos encontrar os pontos de interseção entre cada par de retas. Um ponto de interseção é uma solução simultânea das duas equações envolvidas — ou seja, o par (x,y) que satisfaz ambas equações.

Passo 3

Interseção da reta y=2x-1 com o eixo y=0. Substituímos y=0 em y=2x-1 e resolvemos para x:
0 = 2x - 1
2x = 1
x = \tfrac{1}{2}.
Portanto o ponto de interseção é \bigl(\tfrac{1}{2},\,0\bigr).

Passo 4

Interseção da reta y=-x+5 com o eixo y=0. Substituímos y=0 em y=-x+5:
0 = -x + 5
x = 5.
Portanto o ponto de interseção é (5,\,0).

Passo 5

Interseção entre as duas retas y=2x-1 e y=-x+5. Igualamos as expressões de y:
2x-1 = -x+5.
Somando x aos dois lados e somando 1 aos dois lados:
3x = 6
x = 2.
Agora obtemos y substituindo em qualquer das retas, por exemplo em y=2x-1:
y = 2\cdot 2 - 1 = 4 - 1 = 3.
Logo o ponto de interseção é (2,\,3).

Passo 6

Resumo dos vértices da região limitada (peguei estes pontos resolvendo interseções nas etapas anteriores):
  • \bigl(\tfrac{1}{2},\,0\bigr) — interseção de y=2x-1 com o eixo x.
  • (5,\,0) — interseção de y=-x+5 com o eixo x.
  • (2,\,3) — interseção entre as duas retas.
Esses três pontos formam um triângulo. A região pedida é justamente esse triângulo delimitado pelos três segmentos de reta que ligam esses vértices.

Passo 7

Como esboçar no plano (orientação prática, passo a passo):
  1. Marque o eixo x e o eixo y.
  2. Plote os três pontos: \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr), (5,0) e (2,3).
  3. Trace a reta que passa por \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr) e (2,3) — essa é a reta y=2x-1 (tem inclinação positiva 2 e intercepto -1).
  4. Trace a reta que passa por (5,0) e (2,3) — essa é y=-x+5 (inclinação -1 e intercepto 5).
  5. O triângulo formado por esses três pontos é a região pedida (a base do triângulo fica sobre o eixo x entre x=\tfrac{1}{2} e x=5, e o vértice superior é (2,3)).

Passo 8

Agora vamos calcular a área do triângulo. Método direto (mais simples aqui): a base do triângulo está sobre o eixo x, então a base é o segmento entre \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr) e (5,0). O comprimento da base é a diferença das abscissas:
\text{base} = 5 - \tfrac{1}{2}.
Calculemos:
5 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{10}{2} - \tfrac{1}{2} = \tfrac{9}{2}.

Passo 9

A altura do triângulo relativa a essa base é a distância vertical do vértice (2,3) até o eixo x, isto é simplesmente a coordenada y do vértice superior, porque a base está sobre y=0. Assim:
\text{altura} = 3.

Passo 10

Área do triângulo: usamos a fórmula usual
\text{Área} = \tfrac{1}{2}\times(\text{base})\times(\text{altura}).Á
Substituindo os valores:
\text{Área} = \tfrac{1}{2}\times \tfrac{9}{2}\times 3.Á
Calcule passo a passo:
\tfrac{9}{2}\times 3 = \tfrac{27}{2},
\tfrac{1}{2}\times \tfrac{27}{2} = \tfrac{27}{4}.

Passo 11

Confirmação alternativa (opcional, para aprender outro método): usar a fórmula do polígono pelo determinante (fórmula do “shoelace”) para os pontos \bigl(\tfrac{1}{2},0\bigr), (5,0), (2,3).
Montando os produtos e seguindo a regra:
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\left|\,\tfrac{1}{2}\cdot 0 + 5\cdot 3 + 2\cdot 0 \;-\; \bigl(0\cdot 5 + 0\cdot 2 + 3\cdot \tfrac{1}{2}\bigr)\,\right|.Á
Calcule:
\tfrac{1}{2}\cdot 0 + 5\cdot 3 + 2\cdot 0 = 15,
0\cdot 5 + 0\cdot 2 + 3\cdot \tfrac{1}{2} = \tfrac{3}{2},
\text{Área}=\tfrac{1}{2}\left|15 - \tfrac{3}{2}\right|=\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{27}{2}=\tfrac{27}{4},Á
mesmo resultado, conferindo que está correto.

Resposta

\dfrac{27}{4}

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