Esboce no plano cartesiano a região delimitada pelas retas dadas e determine a área da figura geométrica formada:
e o eixo das abscissas.
Passo 1
O enunciado dá três retas e pede dois itens: esboçar no plano cartesiano a região limitada por elas e determinar a área da figura formada. As retas fornecidas são:
-
, -
, - o eixo das abscissas, isto é
.
Informações relevantes que vamos usar (retiradas do enunciado):
- As equações das duas retas oblíquas (
e ). - O eixo
é dado por .
O objetivo final é encontrar a área da região limitada por essas três curvas (vai ser uma figura simples).
Passo 2
Para saber que figura é e desenhá-la, precisamos encontrar os pontos de interseção entre cada par de retas. Um ponto de interseção é uma solução simultânea das duas equações envolvidas — ou seja, o par
que satisfaz ambas equações.
Passo 3
Interseção da reta
com o eixo
. Substituímos
em
e resolvemos para
:
Portanto o ponto de interseção é
.
Passo 4
Interseção da reta
com o eixo
. Substituímos
em
:
Portanto o ponto de interseção é
.
Passo 5
Interseção entre as duas retas
e
. Igualamos as expressões de
:
Somando
aos dois lados e somando
aos dois lados:
Agora obtemos
substituindo em qualquer das retas, por exemplo em
:
Logo o ponto de interseção é
.
Passo 6
Resumo dos vértices da região limitada (peguei estes pontos resolvendo interseções nas etapas anteriores):
-
— interseção de com o eixo . -
— interseção de com o eixo . -
— interseção entre as duas retas.
Esses três pontos formam um triângulo. A região pedida é justamente esse triângulo delimitado pelos três segmentos de reta que ligam esses vértices.
Passo 7
Como esboçar no plano (orientação prática, passo a passo):
- Marque o eixo
e o eixo . - Plote os três pontos:
, e . - Trace a reta que passa por
e — essa é a reta (tem inclinação positiva e intercepto ). - Trace a reta que passa por
e — essa é (inclinação e intercepto ). - O triângulo formado por esses três pontos é a região pedida (a base do triângulo fica sobre o eixo
entre e , e o vértice superior é ).
Passo 8
Agora vamos calcular a área do triângulo. Método direto (mais simples aqui): a base do triângulo está sobre o eixo
, então a base é o segmento entre
e
. O comprimento da base é a diferença das abscissas:
Calculemos:
Passo 9
A altura do triângulo relativa a essa base é a distância vertical do vértice
até o eixo
, isto é simplesmente a coordenada
do vértice superior, porque a base está sobre
. Assim:
Passo 10
Área do triângulo: usamos a fórmula usual
Substituindo os valores:
Calcule passo a passo:
Passo 11
Confirmação alternativa (opcional, para aprender outro método): usar a fórmula do polígono pelo determinante (fórmula do “shoelace”) para os pontos
,
,
.
Montando os produtos e seguindo a regra:
Montando os produtos e seguindo a regra:
Calcule:
mesmo resultado, conferindo que está correto.