Identifique geometricamente as curvas que compõem a fronteira e esboce as seguintes regiões do plano \mathbb{R}^{2} :
A região delimitada simultaneamente pela parábola x=y^{2} e pela reta x=y+2.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas do plano: x=y^{2} e x=y+2. O que é pedido:
  • Identificar geometricamente quais curvas compõem a fronteira da região delimitada por essas duas equações.
  • Esboçar (desenhar) a região comum delimitada por elas.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • Duas equações explícitas em x em função de y: x=y^{2} (parábola) e x=y+2 (reta).
  • Precisaremos encontrar onde elas se cruzam para saber os pontos extremos da fronteira.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas resolvendo simultaneamente x=y^{2} e x=y+2. Igualando as duas expressões para x obtemos:
y^{2}=y+2.
Reescrevendo:
y^{2}-y-2=0.
Fatorando o polinômio:
(y-2)(y+1)=0.
Logo as raízes são \,y=2 e \,y=-1. Substituindo em x=y+2 (ou em x=y^{2}) obtemos os pontos:
y=2 \Rightarrow x=4 \quad\text{ponto }(4,2),
y=-1 \Rightarrow x=1 \quad\text{ponto }(1,-1).
Portanto as curvas se intersectam em (1,-1) e (4,2).

Passo 3

Descrever geometricamente cada curva (para não ficar perdido ao esboçar):
  • A curva \;x=y^{2}\; é uma parábola cujo eixo é o eixo x e que se abre para a direita. Seu vértice é (0,0). É simétrica em relação ao eixo x. Exemplos de pontos: (0,0) para y=0, (1,1) para y=1, (1,-1) para y=-1, (4,2) para y=2.
  • A curva \;x=y+2\; pode ser escrita como \;y=x-2\;: é uma reta com coeficiente angular 1 (inclinação 45^\circ), que corta o eixo x em (2,0) e o eixo y em (0,-2). Passa pelos pontos de interseção (1,-1) e (4,2).

Passo 4

Determinar qual curva fica à esquerda e qual à direita entre os pontos de interseção (isso diz qual é a fronteira “interna” e qual é a fronteira “externa” em termos de x para um dado y).
Comparar y^{2} e y+2. A desigualdade
y^{2}\le y+2
é equivalente a
y^{2}-y-2\le0 \quad\Longleftrightarrow\quad (y-2)(y+1)\le0.
Isto ocorre exatamente para
-1\le y\le 2.
Logo, para y entre -1 e 2 temos y^{2}\le y+2. Isso significa que, entre as interseções, a parábola x=y^{2} fica à esquerda (menor x) e a reta x=y+2 fica à direita (maior x). Fora desse intervalo de y a relação inverte e as curvas não delimitam a região pedida.
Portanto a região delimitada simultaneamente por essas duas curvas é o conjunto de pontos cuja coordenada y satisfaz -1\le y\le 2 e cuja coordenada x fica entre as duas curvas. Em forma de conjunto:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2} \mid -1\le y\le 2,\; y^{2}\le x\le y+2\}.

Passo 5

Descrever a fronteira e como esboçar passo a passo (para você desenhar na prova sem erro):
  • Fronteira: é formada por dois arcos que se encontram nas duas interseções:
    • o arco da parábola \;x=y^{2}\; para y variando de -1 até 2 (isso é a parte esquerda da fronteira);
    • o segmento da reta \;x=y+2\; para y variando de -1 até 2 (parte direita da fronteira).
      As extremidades comuns desses dois pedaços são (1,-1) e (4,2).
  • Como esboçar (passo a passo prático):
    1. Desenhe os eixos x e y.
    2. Marque os pontos-chave: (0,0) (vértice da parábola), (1,-1) e (4,2) (interseções), (2,0) e (0,-2) (pontos da reta).
    3. Desenhe a parábola x=y^{2} abrindo para a direita, passando por (0,0), (1,1), (1,-1), (4,2).
    4. Desenhe a reta x=y+2 (ou y=x-2) passando por (1,-1) e (4,2).
    5. Sombreie a região entre essas duas curvas para y entre -1 e 2. Essa região tem a forma de uma “fatia” limitada à esquerda pela parábola e à direita pela reta, com extremidades em (1,-1) e (4,2).
Dica rápida: para checar visualmente, calcule alguns pontos intermediários por exemplo para y=0 tem x_{\text{par}}=0 e x_{\text{reta}}=2; para y=1 tem x_{\text{par}}=1 e x_{\text{reta}}=3. Isso ajuda a posicionar corretamente as curvas no esboço.

Passo 6

Observação final e incentivo: a maneira mais prática na prova é sempre (1) achar interseções, (2) decidir qual função dá o menor/maior x no intervalo de y entre interseções, e (3) escrever a região em forma de desigualdades para poder desenhar. Você está indo bem — com esses passos o esboço sai tranquilo!

Resposta

A fronteira é composta pelo arco da parábola \;x=y^{2}\; para -1\le y\le 2 e pelo segmento da reta \;x=y+2\; para -1\le y\le 2.
A região é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid -1\le y\le 2,\; y^{2}\le x\le y+2\}.

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