Identifique geometricamente as curvas que compõem a fronteira e esboce as seguintes regiões do plano
:
A região delimitada simultaneamente pela parábola
e pela reta
.
A região delimitada simultaneamente pela parábola
Passo 1
O enunciado dá duas curvas do plano:
e
. O que é pedido:
- Identificar geometricamente quais curvas compõem a fronteira da região delimitada por essas duas equações.
- Esboçar (desenhar) a região comum delimitada por elas.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- Duas equações explícitas em
em função de : (parábola) e (reta). - Precisaremos encontrar onde elas se cruzam para saber os pontos extremos da fronteira.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das curvas resolvendo simultaneamente
e
. Igualando as duas expressões para
obtemos:
Reescrevendo:
Fatorando o polinômio:
Logo as raízes são
e
. Substituindo em
(ou em
) obtemos os pontos:
Portanto as curvas se intersectam em
e
.
Passo 3
Descrever geometricamente cada curva (para não ficar perdido ao esboçar):
- A curva
é uma parábola cujo eixo é o eixo e que se abre para a direita. Seu vértice é . É simétrica em relação ao eixo . Exemplos de pontos: para , para , para , para . - A curva
pode ser escrita como : é uma reta com coeficiente angular (inclinação ), que corta o eixo em e o eixo em . Passa pelos pontos de interseção e .
Passo 4
Determinar qual curva fica à esquerda e qual à direita entre os pontos de interseção (isso diz qual é a fronteira “interna” e qual é a fronteira “externa” em termos de
para um dado
).
Comparar
e
. A desigualdade
é equivalente a
Isto ocorre exatamente para
Logo, para
entre
e
temos
. Isso significa que, entre as interseções, a parábola
fica à esquerda (menor
) e a reta
fica à direita (maior
). Fora desse intervalo de
a relação inverte e as curvas não delimitam a região pedida.
Portanto a região delimitada simultaneamente por essas duas curvas é o conjunto de pontos cuja coordenada
satisfaz
e cuja coordenada
fica entre as duas curvas. Em forma de conjunto:
Passo 5
Descrever a fronteira e como esboçar passo a passo (para você desenhar na prova sem erro):
-
Fronteira: é formada por dois arcos que se encontram nas duas interseções:
- o arco da parábola
para variando de até (isso é a parte esquerda da fronteira); - o segmento da reta
para variando de até (parte direita da fronteira).
As extremidades comuns desses dois pedaços sãoe .
- o arco da parábola
-
Como esboçar (passo a passo prático):
- Desenhe os eixos
e . - Marque os pontos-chave:
(vértice da parábola), e (interseções), e (pontos da reta). - Desenhe a parábola
abrindo para a direita, passando por , , , . - Desenhe a reta
(ou ) passando por e . - Sombreie a região entre essas duas curvas para
entre e . Essa região tem a forma de uma “fatia” limitada à esquerda pela parábola e à direita pela reta, com extremidades em e .
- Desenhe os eixos
Dica rápida: para checar visualmente, calcule alguns pontos intermediários por exemplo para
tem
e
; para
tem
e
. Isso ajuda a posicionar corretamente as curvas no esboço.
Passo 6
Observação final e incentivo: a maneira mais prática na prova é sempre (1) achar interseções, (2) decidir qual função dá o menor/maior
no intervalo de
entre interseções, e (3) escrever a região em forma de desigualdades para poder desenhar. Você está indo bem — com esses passos o esboço sai tranquilo!
Resposta
A fronteira é composta pelo arco da parábola
para
e pelo segmento da reta
para
.
A região é
A região é