Identifique em que intervalos reais as funções são crescentes ou decrescentes:
g(x)=2-3 x

Passo 1

O enunciado pede para identificar em que intervalos reais a função g(x)=2-3x é crescente ou decrescente.
Informações dadas:
  • A função é g(x)=2-3x para todo x\in\mathbb{R}.
  • Precisa-se determinar os intervalos (em \mathbb{R}) onde g é crescente e onde g é decrescente.

Passo 2

Definições importantes (vamos mastigar bem):
  • Dizemos que g é crescente em um intervalo I se, para quaisquer x_1,x_2\in I com x_1<x_2, vale g(x_1)\le g(x_2). Se sempre vale g(x_1)<g(x_2) quando x_1<x_2, dizemos que é estritamente crescente.
  • Dizemos que g é decrescente em um intervalo I se, para quaisquer x_1,x_2\in I com x_1<x_2, vale g(x_1)\ge g(x_2). Se sempre vale g(x_1)>g(x_2) quando x_1<x_2, dizemos que é estritamente decrescente.
Essas definições são a maneira formal de falar “subir” ou “descer” da função quando andamos para a direita no eixo x.

Passo 3

Método 1 — interpretação geométrica / derivada (ideia rápida e útil para retas):
  • Para uma função linear da forma g(x)=ax+b, o coeficiente a é a inclinação (slope) da reta.
  • Se a>0 a reta sobe (função crescente). Se a<0 a reta desce (função decrescente).
    No nosso caso, g(x)=2-3x tem coeficiente de x igual a -3. Escrevendo de forma padrão: g(x) = (-3)x + 2. Então a inclinação é -3, que é negativa. Logo, geometricamente, a reta desce quando x aumenta.

Passo 4

Método 2 — prova algébrica direta (sem falar de derivada, só usando a definição):
Tome quaisquer x_1,x_2\in\mathbb{R} com x_1<x_2. Calcule a diferença
g(x_1)-g(x_2)=(2-3x_1)-(2-3x_2)=-3x_1+3x_2=3(x_2-x_1).
Como x_2-x_1>0, segue que 3(x_2-x_1)>0. Portanto g(x_1)-g(x_2)>0, ou seja g(x_1)>g(x_2) sempre que x_1<x_2. Isso mostra que, ao aumentar x, o valor de g(x) diminui — portanto g é estritamente decrescente para quaisquer x_1<x_2.

Passo 5

Interpretação final do que acabamos de provar: a propriedade válida para quaisquer x_1<x_2 na reta real significa que a função é estritamente decrescente em todo o domínio \mathbb{R}. Não existe subintervalo não-trivial onde ela seja crescente.

Resposta

Crescente: nenhuma.
Decrescente: (-\infty,\infty)

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