Identifique em que intervalos reais as funções são crescentes ou decrescentes:
Passo 1
O enunciado pede para identificar em que intervalos reais a função
é crescente ou decrescente.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
para todo . - Precisa-se determinar os intervalos (em
) onde é crescente e onde é decrescente.
Passo 2
Definições importantes (vamos mastigar bem):
- Dizemos que
é crescente em um intervalo se, para quaisquer com , vale . Se sempre vale quando , dizemos que é estritamente crescente. - Dizemos que
é decrescente em um intervalo se, para quaisquer com , vale . Se sempre vale quando , dizemos que é estritamente decrescente.
Essas definições são a maneira formal de falar “subir” ou “descer” da função quando andamos para a direita no eixo
.
Passo 3
Método 1 — interpretação geométrica / derivada (ideia rápida e útil para retas):
- Para uma função linear da forma
, o coeficiente é a inclinação (slope) da reta. - Se
a reta sobe (função crescente). Se a reta desce (função decrescente).
No nosso caso,tem coeficiente de igual a . Escrevendo de forma padrão: . Então a inclinação é , que é negativa. Logo, geometricamente, a reta desce quando aumenta.
Passo 4
Método 2 — prova algébrica direta (sem falar de derivada, só usando a definição):
Tome quaisquer com
. Calcule a diferença
Tome quaisquer
Como
, segue que
. Portanto
, ou seja
sempre que
. Isso mostra que, ao aumentar
, o valor de
diminui — portanto
é estritamente decrescente para quaisquer
.
Passo 5
Interpretação final do que acabamos de provar: a propriedade válida para quaisquer
na reta real significa que a função é estritamente decrescente em todo o domínio
. Não existe subintervalo não-trivial onde ela seja crescente.
Resposta
Crescente: nenhuma.
Decrescente:
Decrescente: