Classifique as funções em injetoras, sobrejetoras ou bijetoras:
, definida por
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
.
O que se pede: classificar como injetora, sobrejetora ou bijetora (ou seja, verificar injetividade e sobrejetividade e, se for o caso, concluir bijetividade).
Informações úteis fornecidas:
O que se pede: classificar
Informações úteis fornecidas:
- Domínio:
. - Contradomínio:
. - Regra:
.
Passo 2
Definição e ideia da propriedade “injetora” (explicação didática):
Uma função é injetora se entradas diferentes dão sempre saídas diferentes. Formalmente:
é injetora se, para quaisquer
,
Uma função
Intuição simples: uma função injetora não “colapsa” dois valores distintos do domínio no mesmo valor do contradomínio.
Passo 3
Prova de que
é injetora (passo a passo):
Suponha que e que
Suponha que
Pela regra da função isso dá
Subtraindo
dos dois lados:
Como
, podemos dividir por
e obter
Logo, sempre que as imagens são iguais as pré-imagens também o são; portanto
é injetora.
Comentário intuitivo: multiplicar por preserva a distinção entre números (é um escalamento por um fator não nulo), logo não junta valores distintos.
Comentário intuitivo: multiplicar por
Passo 4
Definição e ideia da propriedade “sobrejetora” (explicação didática):
Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio
é imagem de algum elemento do domínio
. Formalmente: para todo
existe
tal que
.
Uma função
Passo 5
Prova de que
é sobrejetora (passo a passo):
Seja um valor arbitrário do contradomínio. Queremos encontrar
tal que
. Tomemos
Seja
Observações:
-
porque divisão de reais por um número não nulo dá real. - Calculando a imagem:
Portanto, para cada
existe
com
. Assim
é sobrejetora.
Passo 6
Conclusão sobre bijetividade e inversa (explicação didática):
Como é injetora (Passo 3) e sobrejetora (Passo 5), ela é bijetora. A bijetividade significa que existe uma função inversa
. A partir do passo 5 vemos que a inversa é
Como
Verificação rápida:
Tudo confere.
Resposta
Injetora: sim
Sobrejetora: sim
Bijetora: sim
Sobrejetora: sim
Bijetora: sim