Classifique as funções em injetoras, sobrejetoras ou bijetoras:
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, definida por f(x)=3 x

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=3x.
O que se pede: classificar f como injetora, sobrejetora ou bijetora (ou seja, verificar injetividade e sobrejetividade e, se for o caso, concluir bijetividade).
Informações úteis fornecidas:
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Contradomínio: \mathbb{R}.
  • Regra: f(x)=3x.

Passo 2

Definição e ideia da propriedade “injetora” (explicação didática):
Uma função f:A\to B é injetora se entradas diferentes dão sempre saídas diferentes. Formalmente: f é injetora se, para quaisquer x_1,x_2\in A,
f(x_1)=f(x_2)\quad\Rightarrow\quad x_1=x_2.
Intuição simples: uma função injetora não “colapsa” dois valores distintos do domínio no mesmo valor do contradomínio.

Passo 3

Prova de que f é injetora (passo a passo):
Suponha que x_1,x_2\in\mathbb{R} e que
f(x_1)=f(x_2).
Pela regra da função isso dá
3x_1=3x_2.
Subtraindo 3x_2 dos dois lados:
3(x_1-x_2)=0.
Como 3\neq 0, podemos dividir por 3 e obter
x_1-x_2=0\quad\Rightarrow\quad x_1=x_2.
Logo, sempre que as imagens são iguais as pré-imagens também o são; portanto f é injetora.
Comentário intuitivo: multiplicar por 3 preserva a distinção entre números (é um escalamento por um fator não nulo), logo não junta valores distintos.

Passo 4

Definição e ideia da propriedade “sobrejetora” (explicação didática):
Uma função f:A\to B é sobrejetora se todo elemento do contradomínio B é imagem de algum elemento do domínio A. Formalmente: para todo y\in B existe x\in A tal que f(x)=y.

Passo 5

Prova de que f é sobrejetora (passo a passo):
Seja y\in\mathbb{R} um valor arbitrário do contradomínio. Queremos encontrar x\in\mathbb{R} tal que f(x)=y. Tomemos
x=\frac{y}{3}.
Observações:
  • \dfrac{y}{3}\in\mathbb{R} porque divisão de reais por um número não nulo dá real.
  • Calculando a imagem:
f\!\left(\frac{y}{3}\right)=3\cdot\frac{y}{3}=y.
Portanto, para cada y\in\mathbb{R} existe x=\dfrac{y}{3}\in\mathbb{R} com f(x)=y. Assim f é sobrejetora.

Passo 6

Conclusão sobre bijetividade e inversa (explicação didática):
Como f é injetora (Passo 3) e sobrejetora (Passo 5), ela é bijetora. A bijetividade significa que existe uma função inversa f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}. A partir do passo 5 vemos que a inversa é
f^{-1}(y)=\frac{y}{3}.
Verificação rápida:
f^{-1}(f(x))=f^{-1}(3x)=\frac{3x}{3}=x,\qquad f(f^{-1}(y))=f\!\left(\frac{y}{3}\right)=y.
Tudo confere.

Resposta

Injetora: sim
Sobrejetora: sim
Bijetora: sim

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