Classifique as funções em injetoras, sobrejetoras ou bijetoras:
, definida por
Passo 1
O enunciado dá uma única função e pede sua classificação. Informação fornecida:
- A função é
definida por .
O que o enunciado pede: - Determinar se
é injetora, sobrejetora ou bijetora (pode ser mais de uma dessas propriedades).
Passo 2
Relembrando as definições, devagar e com exemplo mental:
- Injetora (ou um-para-um): significa que valores diferentes de entrada dão valores diferentes de saída. Formalmente,
é injetora se
Intuição: não há duas entradas distintas que colidem no mesmo valor de saída.
- Sobrejetora (ou sobre): significa que todo elemento do contradomínio é imagem de algum elemento do domínio. Formalmente,
é sobrejetora se
Intuição: a função “atinge” todos os valores em
.
- Bijetora: é simultaneamente injetora e sobrejetora. Nesse caso existe uma função inversa
.
Passo 3
Testando injetividade de
. Procedimento padrão: supor
e deduzir
.
Começo com a hipótese:
Começo com a hipótese:
Substituindo a regra da função:
Agora simplifico: subtraio
de ambos os lados,
Multiplico ambos os lados por
,
Chegamos exatamente à conclusão desejada, então
é injetora. Observação intuitiva:
é uma reta de coeficiente angular
(não-zero), e retas com inclinação diferente de zero representam funções injetoras em
.
Passo 4
Testando sobrejetividade de
. Procedimento padrão: pegar um
arbitrário e mostrar que existe
com
.
Seja um qualquer. Queremos resolver
Seja um
para
. Reorganizando:
A solução
pertence a
sempre que
. Portanto, para todo
existe
tal que
. Logo
é sobrejetora.
Passo 5
Conclusão sobre bijetividade. Já mostramos que
é injetora (Passo 3) e sobrejetora (Passo 4). Logo
é bijetora.
Além disso, podemos escrever explicitamente a inversa, que é útil na prova e em provas rápidas: a inversa
é dada por
Verificação rápida das composições:
e
As duas composições devolvem o elemento original, confirmando que
é de fato a inversa.
Passo 6
Resumo intuitivo final e incentivo: a função
é uma bijeção porque é uma reta com inclinação
(não nula), então não “colide” valores (injeção) e, resolvendo
, qualquer
tem um pré-imagem
(sobrecção). Você já tem a inversa na mão, o que é um bom sinal de bijetividade — boa! Força nos estudos, isso é exatamente o tipo de questão que costuma cair com facilidade.
Resposta
Bijetora (é injetora e sobrejetora)