Classifique as funções em injetoras, sobrejetoras ou bijetoras:
f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, definida por f(x)=-x+1

Passo 1

O enunciado dá uma única função e pede sua classificação. Informação fornecida:
  • A função é f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por f(x)=-x+1.
    O que o enunciado pede:
  • Determinar se f é injetora, sobrejetora ou bijetora (pode ser mais de uma dessas propriedades).

Passo 2

Relembrando as definições, devagar e com exemplo mental:
  • Injetora (ou um-para-um): significa que valores diferentes de entrada dão valores diferentes de saída. Formalmente, f é injetora se
\forall x_1,x_2\in\mathbb{R},\quad f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2.
Intuição: não há duas entradas distintas que colidem no mesmo valor de saída.
  • Sobrejetora (ou sobre): significa que todo elemento do contradomínio é imagem de algum elemento do domínio. Formalmente, f é sobrejetora se
\forall y\in\mathbb{R},\\ \exists x\in\mathbb{R}\\ \text{tal que}\\ f(x)=y.
Intuição: a função “atinge” todos os valores em \mathbb{R}.
  • Bijetora: é simultaneamente injetora e sobrejetora. Nesse caso existe uma função inversa f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}.

Passo 3

Testando injetividade de f(x)=-x+1. Procedimento padrão: supor f(x_1)=f(x_2) e deduzir x_1=x_2.
Começo com a hipótese:
f(x_1)=f(x_2).
Substituindo a regra da função:
- x_1 + 1 = - x_2 + 1.
Agora simplifico: subtraio 1 de ambos os lados,
- x_1 = - x_2.
Multiplico ambos os lados por -1,
x_1 = x_2.
Chegamos exatamente à conclusão desejada, então f é injetora. Observação intuitiva: f é uma reta de coeficiente angular -1 (não-zero), e retas com inclinação diferente de zero representam funções injetoras em \mathbb{R}.

Passo 4

Testando sobrejetividade de f. Procedimento padrão: pegar um y\in\mathbb{R} arbitrário e mostrar que existe x\in\mathbb{R} com f(x)=y.
Seja um y\in\mathbb{R} qualquer. Queremos resolver
y = f(x) = -x + 1
para x. Reorganizando:
- x = y - 1
x = 1 - y.
A solução x=1-y pertence a \mathbb{R} sempre que y\in\mathbb{R}. Portanto, para todo y\in\mathbb{R} existe x=1-y\in\mathbb{R} tal que f(x)=y. Logo f é sobrejetora.

Passo 5

Conclusão sobre bijetividade. Já mostramos que f é injetora (Passo 3) e sobrejetora (Passo 4). Logo f é bijetora.
Além disso, podemos escrever explicitamente a inversa, que é útil na prova e em provas rápidas: a inversa f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é dada por
f^{-1}(y)=1-y.
Verificação rápida das composições:
f(f^{-1}(y))=f(1-y)=-(1-y)+1=-1+y+1=y,
e
f^{-1}(f(x))=f^{-1}(-x+1)=1-(-x+1)=1+ x -1 = x.
As duas composições devolvem o elemento original, confirmando que f^{-1} é de fato a inversa.

Passo 6

Resumo intuitivo final e incentivo: a função f(x)=-x+1 é uma bijeção porque é uma reta com inclinação -1 (não nula), então não “colide” valores (injeção) e, resolvendo y=-x+1, qualquer y tem um pré-imagem x=1-y (sobrecção). Você já tem a inversa na mão, o que é um bom sinal de bijetividade — boa! Força nos estudos, isso é exatamente o tipo de questão que costuma cair com facilidade.

Resposta

Bijetora (é injetora e sobrejetora)

Exercícios relacionados