Identifique quais dos modelos abaixo podem ser linearizados na forma do modelo linear mathbfy=mathbfX beta+varepsilon. Para caso escreva a matriz mathbfX do modelo e a transformação necessária no vetor mathbfy. Para cada modelo linearizável, indique as transformações nas estimativas dos parâmetros para “reescrever” o modelo na forma original?
y=raizbeta0+beta1 x+varepsilon;

Passo 1

O modelo dado é y = raizbeta0 + beta1 x + varepsilon. O conteúdo é regressão linear múltipla e vamos precisar transformar a variável resposta para eliminar a raiz e obter um modelo da forma y = Xbeta + varepsilon.

Passo 2

Para tirar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado. Definindo y^* = y^2, temos:
y^* = l(raizbeta0 + beta1 x + varepsilonr)^2 = beta0 + beta1 x + varepsilon
Esse é um modelo linear em beta0 e beta1. A matriz de regressores X e o vetor transformado y^* são:
y^* = y1^*y2^*vdotsyn^*, X = 1 & x11 & x2vdots & vdots1 & xn, beta = beta0beta1

Passo 3

Os estimadores hatbeta0 e hatbeta1 são obtidos pela regressão de y^*i=yi^2 em xi. Não há transformação adicional nos parâmetros, pois beta0 e beta1 aparecem diretamente neste modelo linear.

Passo 4

Para voltar ao modelo original e fazer predições em y, usamos
hat y = raizhatbeta0 + hatbeta1 x

Resposta

O modelo é linearizável definindo y^*=y^2. O modelo linear resultante é y^*=beta0+beta1x+varepsilon com X=[1;x]. Os estimadores hatbeta0,hatbeta1 vêm dessa regressão sem transformação extra. Para retornar ao original, faz-se
hat y=raizhatbeta0+hatbeta1x.

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