Identifique quais dos modelos abaixo podem ser linearizados na forma do modelo linear mathbfy=mathbfX beta+varepsilon. Para caso escreva a matriz mathbfX do modelo e a transformação necessária no vetor mathbfy. Para cada modelo linearizável, indique as transformações nas estimativas dos parâmetros para “reescrever” o modelo na forma original?
y=e^beta0+e^beta1 xe^beta0+beta1 x e^varepsilon;

Passo 1

Temos o modelo y = e^beta0 + e^beta1 xe^beta0+beta1 x,e^varepsilon, com erro multiplicativo. O conteúdo envolve modelos não-lineares em parâmetros e técnicas de linearização em regressão linear. Para resolver, precisamos verificar transformações como recíproco ou logaritmo para ver se surge uma expressão linear em beta.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a fração:
e^beta0 + e^beta1 xe^beta0+beta1 x = e^-beta1 x + e^-beta0
Assim o modelo fica
y = l(e^-beta1 x + e^-beta0r),e^varepsilon

Passo 3

Agora aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = lnl(e^-beta1 x + e^-beta0r) + varepsilon
Note que ln(e^-beta1 x + e^-beta0) não se decompõe numa soma -beta1 x mais -beta0); existe uma soma dentro do logaritmo que impede a linearidade em beta0 e beta1.
Como não é possível isolar uma combinação linear dos parâmetros dentro do logaritmo, não conseguimos escrever o modelo na forma y^* = Xbeta + varepsilon.

Resposta

O modelo não é linearizável na forma y = Xbeta + varepsilon.

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