Identifique quais dos modelos abaixo podem ser linearizados na forma do modelo linear mathbfy=mathbfX beta+varepsilon. Para caso escreva a matriz mathbfX do modelo e a transformação necessária no vetor mathbfy. Para cada modelo linearizável, indique as transformações nas estimativas dos parâmetros para “reescrever” o modelo na forma original?
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Passo 1

O enunciado pede para verificar se o modelo y=ln(beta0+beta1x+varepsilon) pode ser reescrito na forma linear y=Xbeta+varepsilon. Vamos usar transformações no vetor resposta para colocar o erro fora do logaritmo.

Passo 2

Tomando exponencial dos dois lados, temos
exp(y)=beta0+beta1x+varepsilon
Logo, definindo o vetor transformado de respostas como zi=exp(yi), obtemos um modelo linear
z=beta0+beta1x+varepsilon

Passo 3

A matriz de projeto X para n observações é
X= 1 & x1 1 & x2 vdots & vdots 1 & xn

Passo 4

A transformação em y é elementar:
zi=exp(yi), i=1,dots,n

Passo 5

Após estimar beta=(beta0,beta1)^top pelo método dos mínimos quadrados em z=Xbeta+varepsilon, obtemos hatbeta0 e hatbeta1. Para retornar ao modelo original, substituímos na forma inicial do logaritmo:
hat yi=lnl(hatbeta0+hatbeta1xir)

Resposta

O modelo é linearizável definindo-se z=exp(y). A matriz de regressão é
X= 1 & x1 1 & x2 vdots & vdots 1 & xn
com vetor- resposta transformado z=exp(y). Após estimar hatbeta0,hatbeta1 via mínimos quadrados em z=Xbeta+varepsilon, reescreve-se o modelo original por
$$
\hat y_i=\ln(\hat\beta_0+\hat\beta_1x_i),.$$

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